Déterminer f depuis Im(f)
dans Algèbre
Bonjour,
j'ai réussi dans un exercice à exprimer l'image d'une application linéaire f d'un espace vectoriel E de dimension 3 vers un espace vectoriel F de dimension 4, sous la forme Vect (u,v,w) où u,v,w sont des vecteurs libres de F.
Connaissant Im(f), je veux déterminer f, c'est à dire pouvoir écrire pour tout x=(x1,x2,x3) de E, f(x1,x2,x3) = (a.x1+b.x2+c.x3, d.x1+...) ; si je passe par le calcul matriciel, cela prend beaucoup de temps... ou alors je m'y prends mal... est-ce que je peux faire autrement ?
j'ai réussi dans un exercice à exprimer l'image d'une application linéaire f d'un espace vectoriel E de dimension 3 vers un espace vectoriel F de dimension 4, sous la forme Vect (u,v,w) où u,v,w sont des vecteurs libres de F.
Connaissant Im(f), je veux déterminer f, c'est à dire pouvoir écrire pour tout x=(x1,x2,x3) de E, f(x1,x2,x3) = (a.x1+b.x2+c.x3, d.x1+...) ; si je passe par le calcul matriciel, cela prend beaucoup de temps... ou alors je m'y prends mal... est-ce que je peux faire autrement ?
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Réponses
\[\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}-2&-6&4\\-5&-14&5\\1&-4&41\\0&0&0\end{pmatrix}.\]
Pour info, f est définie comme h = g o f ; je connais les images et les noyaux de h et g, et les connaissant j'arrive à exprimer Im(f).
Je connais pour l'instant Im(f) ; f(x) est donc de la forme f(x) = a.u + b.v + c.w ... mais comment faire apparaître le lien avec x ?
Voici une remarque : partons de $f$, une application qui convient. Soit $v$ un vecteur de l'espace de départ de $f$ (c'est $E$ ?) et soit $w$ un vecteur du noyau de $g$. Alors $h(v)=g(f(v)+w)$. Autrement dit, si d'une façon ou d'une autre, on modifie $f$ en $\tilde{f}$, de sorte que $\tilde{f}(v)=f(v)+w$, on obtient une autre fonction qui convient.
Pour la première remarque, peut-on formaliser la non réciprocité autrement que par un contre-exemple ?
Pour la seconde remarque, soit S l'ensemble des applications linéaires f de E dans F telles que h = g o f.
Soit l une application linéaire de E dans Ker(g), c'est-à-dire l appartient à L(E,Ker(g)).
Si f appartient à S, alors f+l appartient à S.
Si f appartient à S+L(E,Ker(g)), alors f appartient à S.
On en déduit S = S + L(E,Ker(g)) ; que cela signifie-t-il ? est-ce juste ?
Il y a un problème, tu additionne des vecteurs qui ne sont pas dans le même espace vectoriel : "... alors f+l appartient à S." Il faut définir l comme élément de L(E,F).
Cordialement.
Soit L l'ensemble des applications linéaires de L(E,F) telles que pour tout v de E, g(l(v))=0.
On a S = S + L ; est-ce correct ?
Ce n'est pas un avis extérieur qui peut justifier la validité d'une affirmation mathématique, surtout d'un inconnu.
Cordialement.
Soit S l'ensemble des applications linéaires f de E dans F telles que h = g o f.
On a S = S + L ; est-ce correct ?
Soient f appartient à S et l appartient à L.
Alors pour tout v de E: h(v) = g(f(v)) = g(f(v)) + g(l(v)) = g(f(v)+l(v)) = g((f+l)(v)).
Donc f+l appartient à S, c'est-à-dire (S+L) est inclus dans S.
Comme S est inclus dans (S+L), on en déduit S = (S + L).
Cordialement.
NB : Je peux sembler pénible, mais c'est que c'est ta formation mathématique qui est en cause. J'essaie de la favoriser.
aucunement pénible ; je suis preneur de toute remarque constructive ou réparatrice, étant là pour comprendre/reprendre/progresser.
Ma question était "S = S+L est-ce correct ?". Question rapide et mal formulée, plutôt l'expression d'un étonnement.
J'ai un ensemble, je prends un élément de cet ensemble, il peut s'écrire comme la somme d'un élément de ce même ensemble et d'un élément d'un autre ensemble. Que puis-je en déduire ? Je fais un dessin. J'ai un plan S et une droite L qui traverse ce plan. J'ai envie de dire que cette droite là, si S = S+L, elle est dans mon plan. Et si c'est le cas, je me demande à quoi cela m'avance pour cerner S.
Cordialement