Déterminer f depuis Im(f)

le_débutant · November 2017

Bonjour,
j'ai réussi dans un exercice à exprimer l'image d'une application linéaire f d'un espace vectoriel E de dimension 3 vers un espace vectoriel F de dimension 4, sous la forme Vect (u,v,w) où u,v,w sont des vecteurs libres de F.
Connaissant Im(f), je veux déterminer f, c'est à dire pouvoir écrire pour tout x=(x1,x2,x3) de E, f(x1,x2,x3) = (a.x1+b.x2+c.x3, d.x1+...) ; si je passe par le calcul matriciel, cela prend beaucoup de temps... ou alors je m'y prends mal... est-ce que je peux faire autrement ?

Math Coss · November 2017

Impossible. Par exemple, l'image des applications linéaires de $\R^3$ dans $\R^4$ qui ont les matrices suivantes dans les bases canoniques est la même, pourtant ce ne sont pas les mêmes applications :
\[\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}-2&-6&4\\-5&-14&5\\1&-4&41\\0&0&0\end{pmatrix}.\]

le_débutant · November 2017

Merci - du coup si je connais Ker f, cela permet-il de déterminer l'application ? ...et pourquoi ?
Pour info, f est définie comme h = g o f ; je connais les images et les noyaux de h et g, et les connaissant j'arrive à exprimer Im(f).

Math Coss · November 2017

Enfin, impossible... avec les informations que tu nous donnes. Mais l'énoncé est certainement plus précis.

Math Coss · November 2017

Pour les trois applications linéaires décrites ci-dessus par leurs matrices, le noyau est le même — quel est-il au fait ?

le_débutant · November 2017

Le noyau de chaque matrice est réduit au vecteur nul ; ok j'en déduis que la connaissance de Ker(f) et Im(f) n'implique pas l'unicité de f. D'ailleurs en effet, la question n'est pas de déterminer f, mais toutes les fonctions f qui vérifient h = g o f, connaissant h et g, ainsi que leur noyau et image respectifs.
Je connais pour l'instant Im(f) ; f(x) est donc de la forme f(x) = a.u + b.v + c.w ... mais comment faire apparaître le lien avec x ?

Math Coss · November 2017

D'accord. Attention : si $h=g\circ f$, alors l'image et le noyau de $f$ sont [je ne sais quoi]. Mais ce n'est pas pour autant que tout application qui a ce noyau et cette image sera solution de cette équation.

Voici une remarque : partons de $f$, une application qui convient. Soit $v$ un vecteur de l'espace de départ de $f$ (c'est $E$ ?) et soit $w$ un vecteur du noyau de $g$. Alors $h(v)=g(f(v)+w)$. Autrement dit, si d'une façon ou d'une autre, on modifie $f$ en $\tilde{f}$, de sorte que $\tilde{f}(v)=f(v)+w$, on obtient une autre fonction qui convient.

le_débutant · November 2017

Merci Math Coss pour cet éclairage.
Pour la première remarque, peut-on formaliser la non réciprocité autrement que par un contre-exemple ?
Pour la seconde remarque, soit S l'ensemble des applications linéaires f de E dans F telles que h = g o f.
Soit l une application linéaire de E dans Ker(g), c'est-à-dire l appartient à L(E,Ker(g)).
Si f appartient à S, alors f+l appartient à S.
Si f appartient à S+L(E,Ker(g)), alors f appartient à S.
On en déduit S = S + L(E,Ker(g)) ; que cela signifie-t-il ? est-ce juste ?

gerard0 · November 2017

Bonjour.

Il y a un problème, tu additionne des vecteurs qui ne sont pas dans le même espace vectoriel : "... alors f+l appartient à S." Il faut définir l comme élément de L(E,F).

Cordialement.

le_débutant · November 2017

Bonjour gerard0,
Soit L l'ensemble des applications linéaires de L(E,F) telles que pour tout v de E, g(l(v))=0.
On a S = S + L ; est-ce correct ?

gerard0 · November 2017

Tu en as une preuve ? Alors c'est correct. Tu n'en as pas, alors rédige une preuve (c'est simple).

Ce n'est pas un avis extérieur qui peut justifier la validité d'une affirmation mathématique, surtout d'un inconnu.

Cordialement.

le_débutant · November 2017

Soit L l'ensemble des applications linéaires l de L(E,F) telles que pour tout v de E, g(l(v))=0.
Soit S l'ensemble des applications linéaires f de E dans F telles que h = g o f.

On a S = S + L ; est-ce correct ?

Soient f appartient à S et l appartient à L.
Alors pour tout v de E: h(v) = g(f(v)) = g(f(v)) + g(l(v)) = g(f(v)+l(v)) = g((f+l)(v)).
Donc f+l appartient à S, c'est-à-dire (S+L) est inclus dans S.
Comme S est inclus dans (S+L), on en déduit S = (S + L).

gerard0 · November 2017

Voilà. Si tu es convaincu (parce qu'à chaque étape, tu as appliqué une règle mathématique), alors tu as bon. Il n'y a qu'une seule autre façon d'être sûr : confier la preuve à un logiciel vérificateur de preuves, mais ça demande souvent de la détailler encore bien plus (entre autres, donner toutes les règles qu'on pense utiles).

Cordialement.

NB : Je peux sembler pénible, mais c'est que c'est ta formation mathématique qui est en cause. J'essaie de la favoriser.

le_débutant · November 2017

gerard0,
aucunement pénible ; je suis preneur de toute remarque constructive ou réparatrice, étant là pour comprendre/reprendre/progresser.
Ma question était "S = S+L est-ce correct ?". Question rapide et mal formulée, plutôt l'expression d'un étonnement.
J'ai un ensemble, je prends un élément de cet ensemble, il peut s'écrire comme la somme d'un élément de ce même ensemble et d'un élément d'un autre ensemble. Que puis-je en déduire ? Je fais un dessin. J'ai un plan S et une droite L qui traverse ce plan. J'ai envie de dire que cette droite là, si S = S+L, elle est dans mon plan. Et si c'est le cas, je me demande à quoi cela m'avance pour cerner S.