Bonjour,
Soient $\Sigma$, $\Omega$, $C$ des matrices, $I$ la matrice identité, le tout tel que le produit $$ (C \otimes I) (\Sigma \otimes \Omega) (C \otimes I)^t$$ ait du sens.
Comment voir que ce produit est égal à $$(C \Sigma C^t) \otimes \Omega$$
Réponses
On peut alors procéder par petits pas : en montrant d'une part que $(A\otimes (A'\otimes B')=(AA')\otimes(BB')$, d'autre part que $(A\otimes ^t=A^t\otimes B^t$.
(Autre version : $A\otimes B$ est la matrice d'une application linéaire sur un produit tensoriel d'espaces vectoriels, etc.)
Un physicien écrit, sans se poser de questions, $(C \otimes I) (\Sigma \otimes \Omega) (C \otimes I)^t = (C \Sigma C^t) \otimes (I \Omega I^t) = C \Sigma C^t \otimes \Omega$ puisque $(C \otimes I)^t = C^t \otimes I^t.$
Je crois comprendre que pour toi il est bien connu que plus généralement
$$
(C \otimes D) (\Sigma \otimes \Omega) (C \otimes D)^t = (C \Sigma C^t) \otimes (D \Omega D^t).
$$
C'est de cette égalité plus générale dont j'ai besoin en fait. Tu n'aurais pas une référence par hasard ? Cela m'éviterait de laisser la preuve au lecteur.
Pour une version conceptuelle, il faut apprendre ce qu'est le produit tensoriel (étonnamment, la formule ci-dessus n'y apparaît pas explicitement à première vue).