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Formule de Cardan

Envoyé par Bloy.noel 
Formule de Cardan
l’an passé
avatar
Bonjour je me suis penché sur le problème suivant avec :
Soit $x>y\geq 2$ des réels démontrer que l'on a (de manière purement algébrique sans utiliser les outils d'analyse):
$$ x(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}) - y(\sqrt[3]{y+1}-\sqrt[3]{y-1}) \geq 0 $$

mon idée:
On utilise les formules de Cardan [fr.wikipedia.org] concernant les polynômes de degré 3 c'est à dire que l'on part des coefficients pour allez vers une équation et non l'inverse.Du coup on a la formule suivante :
$$ \sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}-\frac{q}{2}}- \sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}+\frac{q}{2}} $$
Avec un discriminant supérieur ou égale à 0.
Je pense que maintenant vous devriez voir une analogie.
Mais je ne sais pas comment procéder pour la suite .

Merci d'avance pour vos idées.
Cordialement.

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Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Bloy.noel.
Re: Formule de Cardan
l’an passé
Je ne vois pas comment ce résultat pourrait être vrai puisque qu'on pourrait inverser les rôles de $x$ et $y$...
Re: Formule de Cardan
l’an passé
avatar
Ah oui merci on a évidemment $x>y$

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Re: Formule de Cardan
l’an passé
avatar
Personne pour me guider ?

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Re: Formule de Cardan
l’an passé
Tu n'as pas corrigé ton premier message. Et je ne vois pas l'analogie dont tu parles. C'est bien beau de voir des soustractions de racines cubiques, encore faudrait-il que ça ait un lien avec ta question !
Re: Formule de Cardan
l’an passé
As-tu essayé de former les équations de degré (sans 's') $3$ dont les solutions sont les expressions en $x$, respectivement en $y$, figurant dans cet exercice ?


Cordialement, j__j



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par john_john.
Re: Formule de Cardan
l’an passé
avatar
Bon bah ça va être simple comme les solutions sont de la forme (je reprends les notations de wikipédia concernant la formule générale ):
$$x=-\frac{1}{3a}(b+C+\frac{\bigtriangleup_0}{C})$$
On pose le changement de variable suivant:
$x=\frac{1}{u}$
Pour obtenir :
$$x(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1})=(\sqrt[3]{\frac{1+u}{u^4}}-\sqrt[3]{\frac{1-u}{u^4}})$$
On fait de même en posant $y=\frac{1}{v}$

Maintenant l'idée est de se dire que $x_1=(\sqrt[3]{\frac{1+u}{u^4}}-\sqrt[3]{\frac{1-u}{u^4}})$$\quad$$x_2=(\sqrt[3]{\frac{1+v}{v^4}}-\sqrt[3]{\frac{1-v}{v^4}})$$\quad$ et $x_3=0$ sont les solutions d'une équation polynomiale de degré 3

L'idée suivante est alors d'utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss (ou comme on travail sans Analyse d'utiliser les relation coefficients/racines de Viète) et de développer l'équation ci-dessous :
$$(X-x_1)(X-x_2)X=\alpha$$
Avec $\alpha>0$
Cela donne :
$$X^3-(x_1+x_2)X^2+x_1x_2X-\alpha=0$$
Après je n'ai plus d'idée peut-être utiliser un raisonnement par l'absurde...

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Re: Formule de Cardan
l’an passé
avatar
Au final ma question est comment montrer qu'une racine est supérieure à une autre ? (d’où l'idée du raisonnement par l'absurde).

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Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
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