Formule de Cardan

Bloy.noel · November 2017

Bonjour je me suis penché sur le problème suivant avec :
Soit $x>y\geq 2$ des réels démontrer que l'on a (de manière purement algébrique sans utiliser les outils d'analyse):
$$ x(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}) - y(\sqrt[3]{y+1}-\sqrt[3]{y-1}) \geq 0 $$

mon idée:
On utilise les formules de Cardan https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Cardan concernant les polynômes de degré 3 c'est à dire que l'on part des coefficients pour allez vers une équation et non l'inverse.Du coup on a la formule suivante :
$$ \sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}-\frac{q}{2}}- \sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}+\frac{q}{2}} $$
Avec un discriminant supérieur ou égale à 0.
Je pense que maintenant vous devriez voir une analogie.
Mais je ne sais pas comment procéder pour la suite .

Merci d'avance pour vos idées.
Cordialement.

Poirot · November 2017

Je ne vois pas comment ce résultat pourrait être vrai puisque qu'on pourrait inverser les rôles de $x$ et $y$...

Bloy.noel · November 2017

Ah oui merci on a évidemment $x>y$

Bloy.noel · November 2017

Personne pour me guider ?

Poirot · November 2017

Tu n'as pas corrigé ton premier message. Et je ne vois pas l'analogie dont tu parles. C'est bien beau de voir des soustractions de racines cubiques, encore faudrait-il que ça ait un lien avec ta question !

john_john · November 2017

As-tu essayé de former les équations de degré (sans 's') $3$ dont les solutions sont les expressions en $x$, respectivement en $y$, figurant dans cet exercice ?

Cordialement, j__j

Bloy.noel · November 2017

Bon bah ça va être simple comme les solutions sont de la forme (je reprends les notations de wikipédia concernant la formule générale ):
$$x=-\frac{1}{3a}(b+C+\frac{\bigtriangleup_0}{C})$$
On pose le changement de variable suivant:
$x=\frac{1}{u}$
Pour obtenir :
$$x(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1})=(\sqrt[3]{\frac{1+u}{u^4}}-\sqrt[3]{\frac{1-u}{u^4}})$$
On fait de même en posant $y=\frac{1}{v}$

Maintenant l'idée est de se dire que $x_1=(\sqrt[3]{\frac{1+u}{u^4}}-\sqrt[3]{\frac{1-u}{u^4}})$$\quad$$x_2=(\sqrt[3]{\frac{1+v}{v^4}}-\sqrt[3]{\frac{1-v}{v^4}})$$\quad$ et $x_3=0$ sont les solutions d'une équation polynomiale de degré 3

L'idée suivante est alors d'utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss (ou comme on travail sans Analyse d'utiliser les relation coefficients/racines de Viète) et de développer l'équation ci-dessous :
$$(X-x_1)(X-x_2)X=\alpha$$
Avec $\alpha>0$
Cela donne :
$$X^3-(x_1+x_2)X^2+x_1x_2X-\alpha=0$$
Après je n'ai plus d'idée peut-être utiliser un raisonnement par l'absurde...