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tenseur métrique covariant et contravariant

Envoyé par pluton 
tenseur métrique covariant et contravariant
l’an passé
Bonjour,

si je définis le tenseur métrique covariant comme $g_{ij}=\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j$ et le tenseur métrique contravariant comme $g^{k\ell}=\mathbf{e}^k\cdot\mathbf{e}^\ell$, comment prouver qu'ils sont inverses l'un de l'autre ?

Merci
Re: tenseur métrique covariant et contravariant
il y a onze mois
avatar
Bonjour,

Pour montrer que $g_{ij}$ et $g^{kl}$ sont inverses l’un de l’autre on utilise la définition car cette notation est conventionnellle ou on calcule le produit $g^{ax}g_{xb} =\delta_b^a$...
Re: tenseur métrique covariant et contravariant
il y a onze mois
justement, c'est dans le calcul de $g^{ax}g_{xb}$ que je bloque : je ne vois pas comment on trouve le résultat $\delta^a_b$ ? Merci
Re: tenseur métrique covariant et contravariant
il y a onze mois
avatar
Bonjour,

C’est comme pour le produit $\delta^{ax} \delta_{xb}$ de deux symboles de Kroeneker... Revois la définition des indices hauts et bas. Ici tu multiplies deux matrices unités : c’est assez facile.
Re: tenseur métrique covariant et contravariant
il y a onze mois
Bonjour: pour $\delta^{ik}\delta_{kj}$, c'est relativement simple:
  • $i=1$, $j=1$: $\delta^{1k}\delta_{k1}=\delta^{11}\delta_{11}+\delta^{12}\delta_{21}+\delta^{13}\delta_{31}=1$
  • $i=1$, $j=2$: $\delta^{1k}\delta_{k2}=\delta^{11}\delta_{12}+\delta^{12}\delta_{22}+\delta^{13}\delta_{32}=0$
et on devine que $\delta^{ik}\delta_{kj}=\delta^i_j$.

Par contre, pour le calcul qui m'intéresse,
  • $i=1$, $j=1$: $g^{1k}g_{k1}=g^{11}g_{11}+g^{12}g_{21}+g^{13}g_{31}=(\mathbf{e}^1\cdot \mathbf{e}^1)(\mathbf{e}_1\cdot \mathbf{e}_1)+(\mathbf{e}^1\cdot \mathbf{e}^2)(\mathbf{e}_2\cdot \mathbf{e}_1)+(\mathbf{e}^1\cdot \mathbf{e}^3)(\mathbf{e}_3\cdot \mathbf{e}_1)=????$



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