si je définis le tenseur métrique covariant comme $g_{ij}=\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j$ et le tenseur métrique contravariant comme $g^{k\ell}=\mathbf{e}^k\cdot\mathbf{e}^\ell$, comment prouver qu'ils sont inverses l'un de l'autre ?
Pour montrer que $g_{ij}$ et $g^{kl}$ sont inverses l’un de l’autre on utilise la définition car cette notation est conventionnellle ou on calcule le produit $g^{ax}g_{xb} =\delta_b^a$...
C’est comme pour le produit $\delta^{ax} \delta_{xb}$ de deux symboles de Kroeneker... Revois la définition des indices hauts et bas. Ici tu multiplies deux matrices unités : c’est assez facile.
Réponses
Pour montrer que $g_{ij}$ et $g^{kl}$ sont inverses l’un de l’autre on utilise la définition car cette notation est conventionnellle ou on calcule le produit $g^{ax}g_{xb} =\delta_b^a$...
C’est comme pour le produit $\delta^{ax} \delta_{xb}$ de deux symboles de Kroeneker... Revois la définition des indices hauts et bas. Ici tu multiplies deux matrices unités : c’est assez facile.
- $i=1$, $j=1$: $\delta^{1k}\delta_{k1}=\delta^{11}\delta_{11}+\delta^{12}\delta_{21}+\delta^{13}\delta_{31}=1$
- $i=1$, $j=2$: $\delta^{1k}\delta_{k2}=\delta^{11}\delta_{12}+\delta^{12}\delta_{22}+\delta^{13}\delta_{32}=0$
et on devine que $\delta^{ik}\delta_{kj}=\delta^i_j$.Par contre, pour le calcul qui m'intéresse,