L'isomorphe du groupe quotient

Belkiss · November 2017

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cette question là !

Trouver le groupe isomorphe au groupe quotient G/H. Expliquer
a) G = Z^3, H= <(1, 1,1)>
les ordres des deux groupes sont infinis et je ne sais pas vraiment comment répondre.

b) G= Z/2Z x Z/4Z, H= <(0,2)>
pour celle-là, j'ai répondu que l'ordre de G est 8 et l'ordre de H dans G est 2 donc l'ordre du quotient est 4 donc le groupe isomorphe est Z/4Z mais j'ai eu 3/9 comme note et le prof a écrit "ce n'est pas le seul groupe à l'ordre 4" sans expliquer davantage. Je suis perdue.

Merci beaucoup !

Fin de partie · November 2017

a) Pour que tu saches ce que tu dois trouver.
A quoi est isomorphe H?

b) Que penses-tu de l'ordre de (Z/2Z x Z/2Z,+)? Crois-tu que ce groupe soit isomorphe à (Z/4Z,+)?

Poirot · November 2017

Pour le premier exemple, l'idée est de chercher une "forme normale" pour tous les éléments de $G$ modulo $H$. Par exemple, fixons-nous comme forme normale quelque chose de la forme $(a,b,0)$ avec $a, b \in \mathbb Z$. Il est clair que tout élément de $G$ peut se mettre sous cette forme en ajoutant ou en soustrayant suffisamment de fois l'élément $(1,1,1)$. Ça devrait t'aider pas mal ;-)

Pour le deuxième, Fin de Partie t'a donné un autre exemple de groupe d'ordre $4$ ! Il s'agit des deux seuls groupes d'ordre $4$ qui existent (à isomorphismes près), c'est un bon exercice. Il te reste à identifier lequel des deux il s'agit pour ton quotient.

L'isomorphe du groupe quotient

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 38