Réduction de matrice de rang 1 (niveau PC)
Bonjour,
je souhaite traiter l'exercice en pièce jointe; l'ordre dans lequel les questions sont posées ayant certainement leur importance.
Pour la première question : montrer que le polynôme caractéristique est égal à $\chi_A(X) = X^{n-1} (X - tr(A))$, je remarque que la matrice A n'étant pas inversible (de rang 1 < n) , 0 est une valeur propre de A, donc racine $\chi_A$. Je sais aussi grâce au théorème du rang
que dim Ker A = n-1 inférieur ou égal à la multiplicité de 0. D'où la multiplicité de 0 égale à n-1 ou n.
Maintenant comment montrer que tr(A) est aussi valeur propre de A ? Merci d'avance !
je souhaite traiter l'exercice en pièce jointe; l'ordre dans lequel les questions sont posées ayant certainement leur importance.
Pour la première question : montrer que le polynôme caractéristique est égal à $\chi_A(X) = X^{n-1} (X - tr(A))$, je remarque que la matrice A n'étant pas inversible (de rang 1 < n) , 0 est une valeur propre de A, donc racine $\chi_A$. Je sais aussi grâce au théorème du rang
que dim Ker A = n-1 inférieur ou égal à la multiplicité de 0. D'où la multiplicité de 0 égale à n-1 ou n.
Maintenant comment montrer que tr(A) est aussi valeur propre de A ? Merci d'avance !
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Réponses
Ou sinon on prend les devant de la question 2 et on complète une base du noyau en une base de l'espace tout entier.
Concernant la (d), je me dis qu'il faut certainement montrer que cette matrice est de rang 1 (à conditions toutefois que (a,b,c) soit différent de (0,0,0) ) et utiliser les questions précédentes. On dirait alors que cette matrice est diagonalisable ssi sa trace est non nulle c'est à dire ssi a+b+c différent de 0. Certes, mais comment établir que cette matrice est de rang 1 (si c'est vrai) ?
la matrice de la question d n'a aucune raison d'être de rang $1$.
Par exemple, pour $a=1$, $b=c=0$, sauf erreur de ma part, cette matrice est inversible (elle est triangulaire supérieure, son déterminant est donc facile à calculer pour s'en convaincre).
Pour t'aider dans cette question, je ne vois pas d'autre idée que de calculer le polynôme caractéristique et de différencier les cas suivants les valeurs de $a$, $b$ et $c$ (mais peut-être que quelqu'un de plus astucieux que moi va venir te donner une autre piste).
m.
Je note $M$ la matrice de la question d. On peut remarquer que $M+(a+b+c)\operatorname{I}_3$ est de rang $1$.
Bien cordialement,
Ritchie
Merci Ritchie, avec cette indication, plus le fait qu'un endomorphisme f est diagonalisable ssi f - cte . id est diagonalisable, je devrais m'en sortir ...