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Base de Gröbner

Envoyé par DinoHN 
Base de Gröbner
il y a trois semaines
Bonjour

Soit $V$ une variété algébrique définie par des équations $\{x\in\C^n\mid f_1(x) = \dots = f_m(x) = 0\}$.
Alors, comment peut-on construire une base de Gröbner de l'idéal $I(V)$ ?

Merci d'avance,
Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Base de Grobner
il y a trois semaines
Construire une base de Groebner d'un idéal donné par des générateurs, c'est dans tous les bons cours.
Si je comprends bien ta question, tu te places dans le cas où $(f_1,\ldots, f_m)$ n'est pas raduical ? C'est ça ton problème ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Poirot.
Re: Base de Gröbner
il y a deux semaines
Merci, j'ai trouvé des cours par google donc. En plus, est ce que t'as une référence pour des logiciels qui permettent de calculer une base de Groebner?
Re: Base de Gröbner
il y a deux semaines
Sage fait ça très bien par exemple.
Re: Base de Gröbner
il y a deux semaines
Tu n'as pas répondu à ma question. Dans la situation que tu décris, on peut très bien avoir $I(V)\neq (f_1,\ldots,f_m)$, si $(f_1,\ldots,f_m)$ n'est pas radical ; en es-tu conscient ? Il y a aussi en Sage une commande pour calculer le radical d'un idéal
Re: Base de Gröbner
la semaine dernière
GaBuZoMeu, je n'étais conscient. En effet, l'algorithme de Buchberger demande un système de générateurs de $I(V)$. A propos, je cherche aussi un effective algorithme pour factoriser un polynôme complexe en composantes irréductibles!
Re: Base de Gröbner
la semaine dernière
Tu veux dire, un algorithme pour déterminer les racines complexes ? De façon approchée ?
Re: Base de Gröbner
il y a treize jours
Oui, s'il est possible, pour un polynôme de plusieurs variables.
Re: Base de Gröbner
il y a douze jours
GaBuZomeu, je reviens à ma question initiale, pour trouver une base de Gröbner de $I(V)$, il faut trouver une de ses bases. Trouver le radical de $I(V)$ n'est pas suffisant. Donc le problème n'est pas si $(f_1,\dots,f_m)$ est radical ou pas.
Re: Base de Gröbner
il y a douze jours
Bien sûr que si. On a $I(V(f_1,\ldots,f_m))$ est le radical de $(f_1,\ldots,f_m)$.

Ce que je comprends de ton problème : tu veux une base de Groebner (pour quel ordre monomial ?) du radical de $(f_1,\ldots,f_m)$. Ça passe par le calcul du radical, pour lequel il existe des algorithmes.
Re: Base de Gröbner
il y a douze jours
Je prends l'ordre lexicographique $a_\alpha x^\alpha>a_\beta x^\beta$ si $\alpha>\beta.$ Si je veux utiliser l'algorithme de Buchberger, il me faut une base de $I(V)$. Une base de $\sqrt{(f_1,\dots,f_m)}$ n'est pas suffisante. Par exemple, si je prends $V=\{xy^2=0\}$, alors $\sqrt{(xy^2)}=(xy^2)$ et $xy^2$ n'est pas une base de $I(V)$ (xy l'est). Tu parles donc d'un autre algorithme qui permet de calculer une base de Gröbner à partir d'une base du radical de $(f_1,\dots,f_m)$?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze jours et a été effectuée par DinoHN.
Re: Base de Gröbner
il y a douze jours
Citation

$\sqrt{(xy^2)}=(xy^2)$
C'est faux. $(xy)^2\in (xy^2)$, donc $xy\in \sqrt{(xy^2)}$. Tu devrais réviser le Nullstellensatz.
Re: Base de Gröbner
il y a douze jours
Ok, tu parles des algorithmes pour le calcul du radical, as tu une référence?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze jours et a été effectuée par DinoHN.
Re: Base de Gröbner
il y a douze jours
P. Gianni, B. Trager, G. Zacharias, Gröbner bases and primary decomposition of
polynomial ideals, in Computational Aspects of Commutative Algebra, ed. by L.
Robbiano (Academic Press, New York, 1988), pp. 15–33
T. Krick, A. Logar, An Algorithm for the Computation of the Radical of an Ideal
in the Ring of Polynomials, in Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error-
Correcting Codes, ed. by H.F. Mattson, T. Mora, T.R.N. Rao. Lecture Notes in
Computer Science, vol. 539 (Springer, Berlin, 1991), pp. 195–205
D. Eisenbud, C. Huneke, W. Vasconcelos, Direct methods for primary decomposi-
tion. Invent. Math. 110, 207–235 (1992)
Re: Base de Gröbner
il y a douze jours
Merci bien!
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