Soit $V$ une variété algébrique définie par des équations $\{x\in\C^n\mid f_1(x) = \dots = f_m(x) = 0\}$.
Alors, comment peut-on construire une base de Gröbner de l'idéal $I(V)$ ?
Construire une base de Groebner d'un idéal donné par des générateurs, c'est dans tous les bons cours.
Si je comprends bien ta question, tu te places dans le cas où $(f_1,\ldots, f_m)$ n'est pas raduical ? C'est ça ton problème ?
Merci, j'ai trouvé des cours par google donc. En plus, est ce que t'as une référence pour des logiciels qui permettent de calculer une base de Groebner?
Tu n'as pas répondu à ma question. Dans la situation que tu décris, on peut très bien avoir $I(V)\neq (f_1,\ldots,f_m)$, si $(f_1,\ldots,f_m)$ n'est pas radical ; en es-tu conscient ? Il y a aussi en Sage une commande pour calculer le radical d'un idéal
GaBuZoMeu, je n'étais conscient. En effet, l'algorithme de Buchberger demande un système de générateurs de $I(V)$. A propos, je cherche aussi un effective algorithme pour factoriser un polynôme complexe en composantes irréductibles!
GaBuZomeu, je reviens à ma question initiale, pour trouver une base de Gröbner de $I(V)$, il faut trouver une de ses bases. Trouver le radical de $I(V)$ n'est pas suffisant. Donc le problème n'est pas si $(f_1,\dots,f_m)$ est radical ou pas.
Bien sûr que si. On a $I(V(f_1,\ldots,f_m))$ est le radical de $(f_1,\ldots,f_m)$.
Ce que je comprends de ton problème : tu veux une base de Groebner (pour quel ordre monomial ?) du radical de $(f_1,\ldots,f_m)$. Ça passe par le calcul du radical, pour lequel il existe des algorithmes.
Je prends l'ordre lexicographique $a_\alpha x^\alpha>a_\beta x^\beta$ si $\alpha>\beta.$ Si je veux utiliser l'algorithme de Buchberger, il me faut une base de $I(V)$. Une base de $\sqrt{(f_1,\dots,f_m)}$ n'est pas suffisante. Par exemple, si je prends $V=\{xy^2=0\}$, alors $\sqrt{(xy^2)}=(xy^2)$ et $xy^2$ n'est pas une base de $I(V)$ (xy l'est). Tu parles donc d'un autre algorithme qui permet de calculer une base de Gröbner à partir d'une base du radical de $(f_1,\dots,f_m)$?
P. Gianni, B. Trager, G. Zacharias, Gröbner bases and primary decomposition of
polynomial ideals, in Computational Aspects of Commutative Algebra, ed. by L.
Robbiano (Academic Press, New York, 1988), pp. 15–33
T. Krick, A. Logar, An Algorithm for the Computation of the Radical of an Ideal
in the Ring of Polynomials, in Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error-
Correcting Codes, ed. by H.F. Mattson, T. Mora, T.R.N. Rao. Lecture Notes in
Computer Science, vol. 539 (Springer, Berlin, 1991), pp. 195–205
D. Eisenbud, C. Huneke, W. Vasconcelos, Direct methods for primary decomposi-
tion. Invent. Math. 110, 207–235 (1992)
Réponses
Si je comprends bien ta question, tu te places dans le cas où $(f_1,\ldots, f_m)$ n'est pas raduical ? C'est ça ton problème ?
Ce que je comprends de ton problème : tu veux une base de Groebner (pour quel ordre monomial ?) du radical de $(f_1,\ldots,f_m)$. Ça passe par le calcul du radical, pour lequel il existe des algorithmes.
polynomial ideals, in Computational Aspects of Commutative Algebra, ed. by L.
Robbiano (Academic Press, New York, 1988), pp. 15–33
T. Krick, A. Logar, An Algorithm for the Computation of the Radical of an Ideal
in the Ring of Polynomials, in Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error-
Correcting Codes, ed. by H.F. Mattson, T. Mora, T.R.N. Rao. Lecture Notes in
Computer Science, vol. 539 (Springer, Berlin, 1991), pp. 195–205
D. Eisenbud, C. Huneke, W. Vasconcelos, Direct methods for primary decomposi-
tion. Invent. Math. 110, 207–235 (1992)