Base de Gröbner

DinoHN
DinoHN
dans Algèbre
Bonjour

Soit $V$ une variété algébrique définie par des équations $\{x\in\C^n\mid f_1(x) = \dots = f_m(x) = 0\}$.
Alors, comment peut-on construire une base de Gröbner de l'idéal $I(V)$ ?

Merci d'avance,
Cordialement.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Construire une base de Groebner d'un idéal donné par des générateurs, c'est dans tous les bons cours.
    Si je comprends bien ta question, tu te places dans le cas où $(f_1,\ldots, f_m)$ n'est pas raduical ? C'est ça ton problème ?
  • DinoHN
    DinoHN
    Merci, j'ai trouvé des cours par google donc. En plus, est ce que t'as une référence pour des logiciels qui permettent de calculer une base de Groebner?
  • Poirot
    Poirot
    Sage fait ça très bien par exemple.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu n'as pas répondu à ma question. Dans la situation que tu décris, on peut très bien avoir $I(V)\neq (f_1,\ldots,f_m)$, si $(f_1,\ldots,f_m)$ n'est pas radical ; en es-tu conscient ? Il y a aussi en Sage une commande pour calculer le radical d'un idéal
  • DinoHN
    DinoHN
    GaBuZoMeu, je n'étais conscient. En effet, l'algorithme de Buchberger demande un système de générateurs de $I(V)$. A propos, je cherche aussi un effective algorithme pour factoriser un polynôme complexe en composantes irréductibles!
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu veux dire, un algorithme pour déterminer les racines complexes ? De façon approchée ?
  • DinoHN
    DinoHN
    Oui, s'il est possible, pour un polynôme de plusieurs variables.
  • DinoHN
    DinoHN
    GaBuZomeu, je reviens à ma question initiale, pour trouver une base de Gröbner de $I(V)$, il faut trouver une de ses bases. Trouver le radical de $I(V)$ n'est pas suffisant. Donc le problème n'est pas si $(f_1,\dots,f_m)$ est radical ou pas.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bien sûr que si. On a $I(V(f_1,\ldots,f_m))$ est le radical de $(f_1,\ldots,f_m)$.

    Ce que je comprends de ton problème : tu veux une base de Groebner (pour quel ordre monomial ?) du radical de $(f_1,\ldots,f_m)$. Ça passe par le calcul du radical, pour lequel il existe des algorithmes.
  • DinoHN
    DinoHN
    Je prends l'ordre lexicographique $a_\alpha x^\alpha>a_\beta x^\beta$ si $\alpha>\beta.$ Si je veux utiliser l'algorithme de Buchberger, il me faut une base de $I(V)$. Une base de $\sqrt{(f_1,\dots,f_m)}$ n'est pas suffisante. Par exemple, si je prends $V=\{xy^2=0\}$, alors $\sqrt{(xy^2)}=(xy^2)$ et $xy^2$ n'est pas une base de $I(V)$ (xy l'est). Tu parles donc d'un autre algorithme qui permet de calculer une base de Gröbner à partir d'une base du radical de $(f_1,\dots,f_m)$?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    $\sqrt{(xy^2)}=(xy^2)$
    C'est faux. $(xy)^2\in (xy^2)$, donc $xy\in \sqrt{(xy^2)}$. Tu devrais réviser le Nullstellensatz.
  • DinoHN
    DinoHN
    Ok, tu parles des algorithmes pour le calcul du radical, as tu une référence?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    P. Gianni, B. Trager, G. Zacharias, Gröbner bases and primary decomposition of
    polynomial ideals, in Computational Aspects of Commutative Algebra, ed. by L.
    Robbiano (Academic Press, New York, 1988), pp. 15–33
    T. Krick, A. Logar, An Algorithm for the Computation of the Radical of an Ideal
    in the Ring of Polynomials, in Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error-
    Correcting Codes, ed. by H.F. Mattson, T. Mora, T.R.N. Rao. Lecture Notes in
    Computer Science, vol. 539 (Springer, Berlin, 1991), pp. 195–205
    D. Eisenbud, C. Huneke, W. Vasconcelos, Direct methods for primary decomposi-
    tion. Invent. Math. 110, 207–235 (1992)
  • DinoHN
    DinoHN
    Merci bien!
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