(Z,+) et (Q,+) non isomorphes

marwanus
marwanus
dans Algèbre
Bonjour,

J'essaie de montrer que les groupes ($\mathbb{Z}$, +) et ($\mathbb{Q}$, +) ne sont pas isomorphes.

Supposons par absurde que c'est le cas.
Il existe donc un isomorphisme de groupes $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$.


Soit $(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{*} : f(1)=\frac{a}{b}$

$f(0) = 0$ et $1 \neq 0$ et $f$ est injective donc $f(1)\neq 0$ ou encore $a\neq 0$

on a $\frac{a}{2b}\in \mathbb{Q^*}$ et $f$ est surjective donc $\exists c \in \mathbb{Z}^*: f(c)= \frac{a}{2b}$

donc $f(c) = cf(1) = \frac{a}{2b} $ ou encore: $c\frac{a}{b} = \frac{a}{2b}$ ou encore: $c=\frac{1}{2} $ce qui est absurde.

On déduit que ($\mathbb{Z}$, +) et ($\mathbb{Q}$, +) ne sont pas isomorphes.

Est-ce que vous voyez des failles de raisonnement?

Merci beaucoup!

Réponses

  • Toborockeur
    Toborockeur
    Salut.

    Pour moi c'est bon.
  • Toborockeur
    Toborockeur
    Je connais une autre preuve, qui montre que le seul morphisme de $Z$ dans $Q$ est l'identité sinon, elle est plus simple je crois.
  • Poirot
    Poirot
    Ta démonstration est correcte.

    @Toborockeur : attention, il y a un unique morphisme d'anneaux entre $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$, mais pour les groupes c'est faux : considérer tous les $x \mapsto qx$ avec $q \in \mathbb Q$.
  • Toborockeur
    Toborockeur
    Au temps pour moi merci Poirot.
  • marwanus
    marwanus
    Merci beaucoup Poirot et Toborockeur pour votre aide!

    Bonne journée!
  • Poirot
    Poirot
    Au passage on peut montrer que les morphismes de groupes dont j'ai parlé sont les seuls. Si on note $q=f(1)$, alors on obtient facilement par récurrence que $f(k)=qk$ pour tout $k \in \mathbb Z$. Maintenant si on a un morphisme d'anneaux de $\mathbb Z$ dans $\mathbb Q$, alors il est de cette forme-là puisque c'est en particulier un morphisme de groupes pour les lois additives. Le fait que la multiplication soit respectée implique facilement que $q=1$ est la seule possibilité (en excluant le morphisme nul).
  • PB
    PB
    Variante :
    Pour tout groupe abélien $A$, on peut considérer le sous-groupe $2A$ (à ne pas confondre avec $A+A$).
    Dans le cas de $\mathbb Z$, on obtient un sous-groupe propre, mais pas dans le cas de $\mathbb Q$.
  • Dom
    Dom
    Bonsoir,

    C'est sûrement ridicule, mais je ne m'explique pas : $f(c)=cf(1)$.

    Pardon, la journée a été difficile (toute proportion gardée...).

    Edit : ha oui, ça y est ! $c$ est un entier...hum 8-)
    On peut faire aussi : $f(2c)=f(c+c)=f(c)+f(c)=\dfrac{a}{b}=f(1)$ et par bijectivité $2c=1$.
  • marwanus
    marwanus
    @Poirot, merci pour ces idées supplémentaires avec démonstration.

    @PB: Merci pour ton commentaire, est-ce que tu pourrais stp m'en dire plus sur ce que c'est qu'un groupe $2A$?
    Et je ne comprends pas en quoi le fait que $\mathbb{Z}$ admette un sous-groupe propre et $\mathbb{Q}$ n'admette pas de sous-groupe propre implique le non isomorphisme.

    @Dom: oui tu as trouvé, c'est pouvé par récurrence comme précédemment souligné par Poirot.
  • Poirot
    Poirot
    @marwanus : PB dit juste que $2 \mathbb Z = \{2n, n \in \mathbb Z\}$ est un sous-groupe propre de $\mathbb Z$, alors que $2 \mathbb Q = \{2q, q \in \mathbb Q\} = \mathbb Q$.
  • marwanus
    marwanus
    Je vois, merci Poirot.

    Du coup pour répondre à ma dernière question:
    Raisonnons par l'absurde.
    Supposons qu'il existe un isomorphisme $f$ de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Q}$
    puisque $2\mathbb{Z}$ est un sous-groupe propre de $\mathbb{Z}$, $f(2\mathbb{Z}) = 2\mathbb{Q}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Q}$.
    Or $2\mathbb{Z}\subsetneq \mathbb{Z} $ donc $2\mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{Q}$ car $f$ est bijective. ce qui est absurde.

    Est-ce un raisonnement propre?

    Merci à vous
  • Poirot
    Poirot
    Oui c'est ça ;-) Mais c'est essentiellement la même chose que ce que tu as fait dans ton premier message !
  • marwanus
    marwanus
    Merci beaucoup Poirot :)
    et merci PB pour la variante !
  • Dom
    Dom
    Oui.
    C'est un détail. Mais certains correcteurs (suivez mon regard !) pourraient enlever des points car il peut s'agir d'une grave erreur (transfert de "la" loi $\times$ au lieu de "la" loi $\+$).
    Mais évidemment, je ne pense pas que ta question était sur ce détail.
    Indiquer entre parenthèses "récurrence" suffirait dans une copie, certainement, selon les correcteurs.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 15

bertychristianmosellei.zitoussi +12 Invités