Master Théorème

Suggestion : cf le point de vue sur MMT (MacMahon Master Theorem) de GLZ (Garoufalidis, Lê et Zeilberger) dans l'exposé de Lorenz à Dijon https://math.temple.edu/~lorenz/talks/MacMahonDijon.pdf

L'identité s'écrit (je fais du coupé-collé de l'exposé de Martin Lorenz à Dijon, mais en prenant tes notations) dans un anneau $RX_1, \cdots, X_n$
$$
\det\big(I_n - B \text{Diag}(X_1, \cdots, X_n) \big ) \quad\times\quad \sum_{\alpha \in \N^n} c_B(X^\alpha) X^\alpha = 1
\qquad\qquad \text {(MMT)}
$$
Bien compliqué. On y fait $X_i := T$ pour tout $i$. Et cela se transforme (finit par se transformer) en :
$$
\sum_{j = 0}^n \text{Trace}( \bigwedge^j \ (-T)^j \quad\times\quad \sum_{d \ge 0} \text{Trace}( \text{Sym}^d \ T^d = 1
\qquad\qquad \text {(MMT')}
$$
Pour comprendre $\text{(MMT')}$, prendre $B$ diagonale disons. Et pourquoi pas $n=1$ :
$$
(1 - aT) \quad \times\quad \sum_{d \ge 0} a^d T^d = 1
$$
Là, c'est devenu vachement plus facile.

Et ce que disent les 3 auteurs Garoufalidis, Lê et Zeilberger, c'est que $\text{(MMT')}$ est équivalent à $\text {(MMT)}$ ! Trop fort GLZ. Respect.

Pour en savoir plus, lire l'exposé et l'article de GLZ in https://arxiv.org/pdf/math/0303319.pdf

@Bloy.Noel
Je ne comprends pas trop ton histoire de séries génératrices et de petite larme. Tout d'abord, on n'a RIEN fait, enfin, je n'ai rien fait. Et je n'y connais rien. Je crois à ce propos que j'ai attribué l'équivalence $\text{(MMT)} \Leftrightarrow \text{(MMT')}$ à GLZ (en lisant trop vite Martin Lorenz) alors que GLZ (Garoufalidis, Lê & Zilberger) seraient responsables de (qMMT) (The Quantum MacMahon Master Theorem). J'ignore évidemment ce qu'est (qMMT).

Fort possible que l'équivalence soit du petit lait. Sorry GLZ. Pourquoi tourner autour du pot et faire semblant ? Plusieurs jours de boulot, peut-être une ou deux semaines.

D'abord des dates : l'exposé de Lorenz : 2006. Avec un pointeur sur le papier qMMT de GLZ en 2005. Autre chose : on voit en https://mathoverflow.net/questions/103919/historical-question-about-macmahon-theorem-wronski-relation-etc ``Historical question of MacMahon Theorem''. Intéressant : il y a 5 ans donc aux environs de 2012. Le questionneur est Alexander Chervov et c'est Igor Park qui lui répond. A lire impérativement : je crois comprendre que l'algèbre linéaire a rendu triviale la preuve de (MMT). Mais mon anglais, hum.

Et que voit-on aux pages 11-12 de http://www.ma.rhul.ac.uk/~uvah099/Maths/Sym/SymFuncs2017.pdf ? La preuve de (MMT) via le passage par $\text{(MMT')}$. Avec d'ailleurs une remarque de l'auteur Mark Wildon : il tiendrait son approche suite à la question à MathOverflow de Chervov.

Et Mark Wildon fait dans la pédagogie (si, si). Car il commence par $\text{(MMT')}$ et donne aussitôt une application à une preuve de l'identité (combinatoire) de Dixon :
$$
\sum_{k=0}^{2m} (-1)^k \binom{2m}{k}^3 = (-1)^m {(3m)! \over (m!)^3}
$$
En faisant intervenir une matrice $3\times 3$ $B$ ad-hoc. Un pur régal (mais il explique un peu vite, je trouve ou plutôt, je suis lent). Et il enchaîne sur MMT (la totale). Et il y a les questions 6 et 7, pages 45-46, consacrées à des applications combinatoires de MMT. Bravo Mark Wildon. Je crois que son pdf de 63 pages est self-contained.

En ce qui concerne $\text{(MMT')}$, faut déjà comprendre que cela dit des choses du genre :
$$
{1 \over \det\left( I_3 - T\pmatrix { a & 0& 0\cr 0 & b & 0\cr 0 & 0 & c} \right)} = {1 \over (1-Ta)(1-Tb)(1-Tc)} =
\sum_{d \ge 0} \left( \sum_{i+j+k = d} a^i b^j c^k \right) T^d
$$
Etre cool avec la puissance symétrique $n$-ième d'une matrice $B$. Si $B : R^3 \to R^3$ ($R$ est un anneau commutatif quelconque), il faut voir $R^3$ comme la composante homogène de degré 1 d'un anneau de polynômes à 3 indéterminées $u,v,w$ (c'est le nom de 3 indéterminées cette semaine) :
$$
R^3 \simeq R[u,v,w]_1 = Ru \oplus Rv \oplus Rw, \qquad\qquad
R[u,v,w]_n = \bigoplus_{i+j+k=n} R u^i v^j c^k
$$
Et pas définition, la puissance symétrique $\text{Sym}^n (B)$ mouline sur $R[u,v,w]_n$ comme on le pense.

Peut-être que la preuve de la totale MMT, ce n'est pas important. Plus important est ce que cela DIT.

Assez discuté, au boulot. En maths, on ne peut pas faire semblant : il faut passer à l'action et cela prend du temps.