Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
163 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Master Théorème

Envoyé par Bloy.noel 
Master Théorème
il y a deux semaines
avatar
Bonjour voilà un petit bout de temps que je suis sur mon inégalité dans Shtam et je commence à être intimement convaincu que c'est un problème de Combinatoire et d'Algèbre.
Ma question est la suivante : Pourriez vous m'aider à comprendre la formule suivante dû à Mac-Mahon avec des exemples ou une preuve (je n'en trouve pas sur le net) .
Merci pour vos réponses.

Le nombre de Dottie ou...ce qu'il en reste [math.stackexchange.com]


Re: Master Théorème
il y a deux semaines
Suggestion : cf le point de vue sur MMT (MacMahon Master Theorem) de GLZ (Garoufalidis, Lê et Zeilberger) dans l'exposé de Lorenz à Dijon [math.temple.edu]

L'identité s'écrit (je fais du coupé-collé de l'exposé de Martin Lorenz à Dijon, mais en prenant tes notations) dans un anneau $R[[X_1, \cdots, X_n]]$
$$
\det\big(I_n - B \text{Diag}(X_1, \cdots, X_n) \big ) \quad\times\quad \sum_{\alpha \in \N^n} c_B(X^\alpha) X^\alpha = 1
\qquad\qquad \text {(MMT)}
$$
Bien compliqué. On y fait $X_i := T$ pour tout $i$. Et cela se transforme (finit par se transformer) en :
$$
\sum_{j = 0}^n \text{Trace}( \bigwedge^j B) \ (-T)^j \quad\times\quad \sum_{d \ge 0} \text{Trace}( \text{Sym}^d B)\ T^d = 1
\qquad\qquad \text {(MMT')}
$$
Pour comprendre $\text{(MMT')}$, prendre $B$ diagonale disons. Et pourquoi pas $n=1$ :
$$
(1 - aT) \quad \times\quad \sum_{d \ge 0} a^d T^d = 1
$$
Là, c'est devenu vachement plus facile.

Et ce que disent les 3 auteurs Garoufalidis, Lê et Zeilberger, c'est que $\text{(MMT')}$ est équivalent à $\text {(MMT)}$ ! Trop fort GLZ. Respect.

Pour en savoir plus, lire l'exposé et l'article de GLZ in [arxiv.org]
Re: Master Théorème
il y a deux semaines
avatar
@Claude Quitté Merci beaucoup pour les références et le fait d'avoir épluché le contenu .thumbs down
Une question : Tous ceci ne serait qu'une affaire de séries génératrices ?
Si cette dernière affirmation était vraie il y aurait de quoi verser une petite larme je trouve .

Le nombre de Dottie ou...ce qu'il en reste [math.stackexchange.com]
Re: Master Théorème
il y a deux semaines
@Bloy.Noel
Je ne comprends pas trop ton histoire de séries génératrices et de petite larme. Tout d'abord, on n'a RIEN fait, enfin, je n'ai rien fait. Et je n'y connais rien. Je crois à ce propos que j'ai attribué l'équivalence $\text{(MMT)} \Leftrightarrow \text{(MMT')}$ à GLZ (en lisant trop vite Martin Lorenz) alors que GLZ (Garoufalidis, Lê & Zilberger) seraient responsables de (qMMT) (The Quantum MacMahon Master Theorem). J'ignore évidemment ce qu'est (qMMT).

Fort possible que l'équivalence soit du petit lait. Sorry GLZ. Pourquoi tourner autour du pot et faire semblant ? Plusieurs jours de boulot, peut-être une ou deux semaines.

D'abord des dates : l'exposé de Lorenz : 2006. Avec un pointeur sur le papier qMMT de GLZ en 2005. Autre chose : on voit en [mathoverflow.net] ``Historical question of MacMahon Theorem''. Intéressant : il y a 5 ans donc aux environs de 2012. Le questionneur est Alexander Chervov et c'est Igor Park qui lui répond. A lire impérativement : je crois comprendre que l'algèbre linéaire a rendu triviale la preuve de (MMT). Mais mon anglais, hum.

Et que voit-on aux pages 11-12 de [www.ma.rhul.ac.uk] ? La preuve de (MMT) via le passage par $\text{(MMT')}$. Avec d'ailleurs une remarque de l'auteur Mark Wildon : il tiendrait son approche suite à la question à MathOverflow de Chervov.

Et Mark Wildon fait dans la pédagogie (si, si). Car il commence par $\text{(MMT')}$ et donne aussitôt une application à une preuve de l'identité (combinatoire) de Dixon :
$$
\sum_{k=0}^{2m} (-1)^k \binom{2m}{k}^3 = (-1)^m {(3m)! \over (m!)^3}
$$
En faisant intervenir une matrice $3\times 3$ $B$ ad-hoc. Un pur régal (mais il explique un peu vite, je trouve ou plutôt, je suis lent). Et il enchaîne sur MMT (la totale). Et il y a les questions 6 et 7, pages 45-46, consacrées à des applications combinatoires de MMT. Bravo Mark Wildon. Je crois que son pdf de 63 pages est self-contained.

En ce qui concerne $\text{(MMT')}$, faut déjà comprendre que cela dit des choses du genre :
$$
{1 \over \det\left( I_3 - T\pmatrix { a & 0& 0\cr 0 & b & 0\cr 0 & 0 & c} \right)} = {1 \over (1-Ta)(1-Tb)(1-Tc)} =
\sum_{d \ge 0} \left( \sum_{i+j+k = d} a^i b^j c^k \right) T^d
$$
Etre cool avec la puissance symétrique $n$-ième d'une matrice $B$. Si $B : R^3 \to R^3$ ($R$ est un anneau commutatif quelconque), il faut voir $R^3$ comme la composante homogène de degré 1 d'un anneau de polynômes à 3 indéterminées $u,v,w$ (c'est le nom de 3 indéterminées cette semaine) :
$$
R^3 \simeq R[u,v,w]_1 = Ru \oplus Rv \oplus Rw, \qquad\qquad
R[u,v,w]_n = \bigoplus_{i+j+k=n} R u^i v^j c^k
$$
Et pas définition, la puissance symétrique $\text{Sym}^n (B)$ mouline sur $R[u,v,w]_n$ comme on le pense.

Peut-être que la preuve de la totale MMT, ce n'est pas important. Plus important est ce que cela DIT.

Assez discuté, au boulot. En maths, on ne peut pas faire semblant : il faut passer à l'action et cela prend du temps.
Re: Master Théorème
il y a douze jours
Hello,
C'est bien ce que j'avais dit. Cela va durer des jours. Et cela a duré des jours. Voici donc une instance du MacMahon Master Theorem. Il s'agit de démontrer l'identité binomiale de Dixon :
$$
\sum_{-m \le h \le m} \binom {a+b}{a+h} \binom {b+c}{b+h} \binom {c+a}{c+h} = {(a+b+c)! \over a!\ b!\ c!} \qquad\qquad
m = \min(a,b,c)
$$
On va appliquer pour cela MMT ou sa version ``faible'' à la matrice
$$
B = \pmatrix {0 & -x & x\cr y & 0 & -y\cr -z &z & 0}, \qquad\qquad
{1 \over \det(I_3 - tB)} = \sum_{d \ge 0} \text{Tr} (\text{Sym}^d B) t^d
$$
A droite, l'égalité des séries en $t$ constitue le MacMahon Master Theorem (une version de). Et ce qui m'a coûté un peu de temps, c'est de comprendre qu'il fallait juste considérer le coefficient de $t^d$ avec $t = 2(a+b+c)$ dans (j'en profite pour donner le déterminant) :
$$
{1 \over 1 + t^2(xy + yz + zx)} = \sum_{d \ge 0} \text{Tr} (\text{Sym}^d B) t^d
$$
Et en fait, une fois retenu ce coefficient (un à gauche, l'autre à droite) il faut juste retenir dans ce coefficient, qui est un polynôme en $x,y,z$, le coefficient du monôme $x^{b+c} y^{c+a} z^{a+b}$. Là aussi, un certain temps pour ... Il reste maintenant du boulot. Mais moins qu'au départ. Mais du boulot pour qui ? Ben, pour l'initiateur du fil, par exemple.

Mais d'où sort la matrice $B$ ? Mystère. Référence : [www.ma.rhul.ac.uk], exercice 6 page 42. Dans le texte, pages 11, 12, il y a l'exemple 1.9 consacrée à l'identité de Dixon dans le cas particulier $a = b = c$. C'est évidemment ce qui m'a guidé. On y voit la matrice $B$ ou plutôt sa transposée (habitude anglo-saxonne).


Que va faire l'auteur du fil ? A-t-il réellement envie de comprendre un peu du MacMahon Master Theorem comme semble l'indiquer son premier post ? Ou bien, juste histoire de poser une question ? J'ai ma petite idée là-dessus.
Re: Master Théorème
il y a douze jours
avatar
Salut Claude ,disons que pendant tous ce temps (vous allez rire) mais j'ai repris le Griffon (excellent manuel s'il en est ).
Je pense donc ne pas mettre la charrue avant les bœufs et ainsi ne pas agir en sophiste .En fait ce théorème est pour moi un objectif durable , et un défi qui plus est .D'autre part j'ai trouvé une démonstration (attention artillerie lourde) à mon inégalité de Shtam via une inégalité de Slater généralisée .Mais je pense que c'est de la triche (d'ailleurs Michael Rozenberg en a trouvé une via une méthode particulièrement élégante) .Du coup trouver une démonstration grâce à ce théorème de Mac-Mahon serait je trouve une application intéressante .D'ailleurs Claude quelle est la relation entre le Master théorème et l'inégalité de Muirhead ? Je veux dire y a t-il un lien pertinent entre ces deux là ? Ou mieux un résultat de majoration (Muirhead) peut-il être comparé à un résultat purement Algébrique (MMT)? Bien sûr cela n'est pas un hasard si j'invoque ces deux théorèmes puisqu'il y a à l'évidence une ressemblance et que l'un pourrait me permettre de mieux comprendre l'autre .

Bien à vous.

Ps:Vous savez pertinemment que je suis mordu d'inégalité donc ce théorème (MMT) je vais essayer d'en faire un ami .
Pps:Ces relations de combinatoires sont tous simplement mirifiques !

Le nombre de Dottie ou...ce qu'il en reste [math.stackexchange.com]
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 124 440, Messages: 1 188 305, Utilisateurs: 19 594.
Notre dernier utilisateur inscrit senpai.


Ce forum
Discussions: 14 989, Messages: 145 232.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page