Soit $L$ une extension algébrique de $\Bbb Q$. Si tout polynôme de $\Bbb Q\left[ X\right]$ a une racine dans $L$, alors $L$ est-il algébriquement clos?
Merci d'avance à ceux qui pourront éclairer ma lanterne.
Oui. Soit $x$ algébrique sur $L$. Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in L[X]$ le minimal de $x$ sur $L$ ($a_n\ne0$). Comme $L$ est algébrique, chaque $a_k$ est algébrique sur $\Q$ donc le corps $K=\Q(a_0,\dots,a_n)$ est de degré fini sur $\Q$. On a alors par multiplicativité des degrés : $[\Q(x):\Q]\le[K(x):\Q]=[K(x):K]\cdot[K:\Q]<+\infty$. Autrement dit, $x$ est algébrique sur $\Q$ donc $x$ est solution d'une équation à coefficients dans $\Q$ donc $x$ appartient à $L$.
Edit : Vu le commentaire de l'article posté par Claude, “this theorem is not quite the triviality it may appear to be at first glance”, il pourrait y avoir une erreur...
Edit 2 : Le problème est le suivant : $x$ est solution d'un polynôme à coefficients rationnels, certes, mais qui dit que cette solution appartient à $L$ ? En effet, ledit polynôme a une racine dans $L$ mais ce n'est peut-être pas $x$.
@Math Coss
Ta dernière ligne : le polynôme à coefficients dans $\Q$ possède UNE racine dans $L$ (c'est l'hypothèse) ; mais pourquoi cette racine serait $x$ ?
L'auteur dit que si on remplace l'hypothèse ``avoir une racine dans $L$'' par ``être complètement scindé dans $L$'', then it is an easy exercice to show ..etc.. Under the weaker hypothesis, however, this conclusion ($L$ algebraically closed) is considerably more difficult to prove.
Oui, essentiellement grâce au théorème de l'élément primitif.
Soit $M$ une cloture algébrique de $\Q$ et $\varphi: L \to M$ un morphisme de corps (ça existe toujours). Il suffit de montrer que $\varphi$ est surjectif. Soit $x\in M$. Soit $P$ un polynôme annulateur de $M$ et $K$ le sous-corps de $M$ engendré par routes les racines de $P$, qui est une extension finie de $\Q$.
Alors comme $\Q$ est de caractéristique nulle, $K$ est une extension séparable de $\Q$ et donc il existe (élément primitif) $\alpha\in K$ tel que $K=\Q[\alpha] \simeq \Q[X]/<F>$ où $F$ est le polynôme minimal de $\alpha$. Alors comme il existe $\beta \in L$ racine de $F$, on voit aussi que $\Q[\beta] \simeq K$. Par suite $\varphi(\Q[\beta]) \simeq K$. Mais comme $K$ est une extension normale de $\Q$, cela entraîne que $\varphi(\Q[\beta]) =K$ et donc que $x\in \varphi(\Q[\beta]) \subseteq im(\varphi)$. CQFD.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Un autre pointeur : http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT421.pdf, lemme 6.5 page 71. Lire aussi la foot-note en bas de cette page car le résultat qui t'intéresse est dû à Gilmer. Et en fait, Isaacs a prouvé un résultat plus fort. J'espère que c'est clair (l'agencement du binz).
Merci à vous. J'ai lu la preuve du second lien de Claude qui est essentiellement la même que celle de Foys : il y a un peu de travail supplémentaire dans le cas général.
D'ailleurs, le théorème montré par Isaacs est une jolie généralisation : je suis en train de décortiquer sa preuve.
Réponses
Cf I.M. Isaacs, Roots of polynomials in algebraic extensions of fields, Amer. Math. Monthly, 87, 1980, p. 543-544. Je mets un pointeur mais pas d'accès libre https://www.jstor.org/stable/2321419?seq=1#page_scan_tab_contents
C'est un papier de 2 pages comme tu vois. Je peux faire un scan si tu veux.
Edit : Vu le commentaire de l'article posté par Claude, “this theorem is not quite the triviality it may appear to be at first glance”, il pourrait y avoir une erreur...
Edit 2 : Le problème est le suivant : $x$ est solution d'un polynôme à coefficients rationnels, certes, mais qui dit que cette solution appartient à $L$ ? En effet, ledit polynôme a une racine dans $L$ mais ce n'est peut-être pas $x$.
Ta dernière ligne : le polynôme à coefficients dans $\Q$ possède UNE racine dans $L$ (c'est l'hypothèse) ; mais pourquoi cette racine serait $x$ ?
L'auteur dit que si on remplace l'hypothèse ``avoir une racine dans $L$'' par ``être complètement scindé dans $L$'', then it is an easy exercice to show ..etc.. Under the weaker hypothesis, however, this conclusion ($L$ algebraically closed) is considerably more difficult to prove.
Soit $M$ une cloture algébrique de $\Q$ et $\varphi: L \to M$ un morphisme de corps (ça existe toujours). Il suffit de montrer que $\varphi$ est surjectif. Soit $x\in M$. Soit $P$ un polynôme annulateur de $M$ et $K$ le sous-corps de $M$ engendré par routes les racines de $P$, qui est une extension finie de $\Q$.
Alors comme $\Q$ est de caractéristique nulle, $K$ est une extension séparable de $\Q$ et donc il existe (élément primitif) $\alpha\in K$ tel que $K=\Q[\alpha] \simeq \Q[X]/<F>$ où $F$ est le polynôme minimal de $\alpha$. Alors comme il existe $\beta \in L$ racine de $F$, on voit aussi que $\Q[\beta] \simeq K$. Par suite $\varphi(\Q[\beta]) \simeq K$. Mais comme $K$ est une extension normale de $\Q$, cela entraîne que $\varphi(\Q[\beta]) =K$ et donc que $x\in \varphi(\Q[\beta]) \subseteq im(\varphi)$. CQFD.
D'ailleurs, le théorème montré par Isaacs est une jolie généralisation : je suis en train de décortiquer sa preuve.