Exercice d'un livre sans correction
Bonjour
Pourriez-vous me dire si ceci est correct, svp ?
Exo :
Soient deux groupes cycliques $C_m =\, <x>$ et $C_n =\; <y>$ ($m \ne n$)
a) Soit $a \in C_m$ et $b \in C_n$ tels que $o(a) = r$ et $o(b) = s$
Quel est l'ordre de l'élément $(a,b)$ dans $C_m\times C_n$ ?
Ce que j'ai fait :
$o(a) = r \Rightarrow a^r = e$
$o(b) = s \Rightarrow b^s = e$
$o(a,b)$ est la plus petite puissance $q$ pour laquelle $(a,b)^q = (e,e)$
$(e,e) = (a^r, b^s) = ((a^r)^s, (b^s)^r) = (a^{rs}, b^{rs}) = (a,b)^{rs}$
Cependant $rs$ n'est pas la plus petite puissance possible si $r$ et $s$ ont des facteurs communs.
Pour cela il faut que $q = \dfrac{r.s}{r \wedge s}$
Je ne suis pas certains de tout ça car je trouve suspect de ne pas utiliser les cardiaux des groupes $C_m$ et $C_n$.
[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. AD]
Pourriez-vous me dire si ceci est correct, svp ?
Exo :
Soient deux groupes cycliques $C_m =\, <x>$ et $C_n =\; <y>$ ($m \ne n$)
a) Soit $a \in C_m$ et $b \in C_n$ tels que $o(a) = r$ et $o(b) = s$
Quel est l'ordre de l'élément $(a,b)$ dans $C_m\times C_n$ ?
Ce que j'ai fait :
$o(a) = r \Rightarrow a^r = e$
$o(b) = s \Rightarrow b^s = e$
$o(a,b)$ est la plus petite puissance $q$ pour laquelle $(a,b)^q = (e,e)$
$(e,e) = (a^r, b^s) = ((a^r)^s, (b^s)^r) = (a^{rs}, b^{rs}) = (a,b)^{rs}$
Cependant $rs$ n'est pas la plus petite puissance possible si $r$ et $s$ ont des facteurs communs.
Pour cela il faut que $q = \dfrac{r.s}{r \wedge s}$
Je ne suis pas certains de tout ça car je trouve suspect de ne pas utiliser les cardiaux des groupes $C_m$ et $C_n$.
[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. AD]
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Réponses
Donc l'élément $(a,b)$ est d'ordre PPCM(r,s) dans $C_m \times C_n$
Merci.
Variante :
d'abord il n'est pas nécessaire de considérer des groupes cycliques
si $a,b$ sont respectivement dans les groupes $H,K$
alors l'ordre de $(a, b)$ est effectivement le plus petit entier $q$ non nul tel que $(a,b)^q=(e_H,e_K)$
mais l' égalité $(a,b)^q=(e_H,e_K)$ équivaut à $q$ multiple de $r$ et de $s$
(puisque par exemple $a^q=e_H$ équivaut à $q$ multiple de $r$)
Donc l'ordre cherché est le plus petit multiple (non nul) de $r$ et $s$
b) Question suivante :
A l'aide du résultat précédent, démontrez le corollaire suivant : "Le produit direct de deux groupes cyclique $C_m \times C_n$ est un groupe cyclique si et seulement si m et n sont premiers entre eux."
Ce que j'ai fait :
- $C_m = <x>$ est de cardinal m
- $C_n = <y>$ est de cardinal n
- $C_{mn} = <z>$ est de cardinal mn
- Soit $C_m \times C_n$ le produit direct des groupes $C_m$ et $C_n$
- Soit $z=(x,y)$ un élément de $C_m \times C_n$
- D'après a), l'élément $z$ est d'ordre $q=PPCM(m,n)$ dans $C_m \times C_n$
- $m \wedge n \ne 1$ (non premiers entre eux) $ \Rightarrow PPCM(m,n) < mn \Rightarrow C_m \times C_n \not\simeq C_{mn}$ (Car aucun élément $z$ de $C_m \times C_n$ n'est d'ordre $mn$.)
- $m \wedge n = 1$ (premiers entre eux) $ \Rightarrow PPCM(m,n) = mn \Rightarrow C_m \times C_n \simeq C_{mn}$
Là où je ne vois pas, c'est que bien que deux groupes soient isomorphes rien me dit que que $C_m \times C_n $ soit cyclique, si ?
Et même avant ça, je ne suis pas sûr que je peux affirmer (même si je sais que c'est vrai) que bien qu'étant de mêmes cardinaux, $C_m \times C_n \simeq C_{mn}$
Pour résumer : $C_m \times C_n$ est cyclique si et seulement s'il est isomorphe à un groupe cyclique. Si jamais c'est le cas, le groupe cyclique en question ne peut être que $C_{mn}$ pour des raisons de cardinal. Et une manière d'obtenir que $C_m \times C_n$ est cyclique dans le cas où $m \wedge n =1$ est de montrer l'existence d'un élément d'ordre $mn$ dans ce groupe.
Tout à fait, mais pour l'instant je sais seulement que $C_{mn}$ est cyclique (par définition) mais je n'ai pas prouvé que $C_m \times C_n$ lui était isomorphe, j'ai juste prouvé qu'ils étaient de même cardinalité. C'est ça qui me pose problème.
Ah , oui, oui, d'accord, je viens de piger, tant pis je laisse mon commentaire ci-dessus. Je vois, merci
pour montrer qu'un groupe d'ordre $x$ est isomorphe à $C_x$, il suffit de trouver un élément d'ordre $x$ dans ce groupe.
Grâce à ta première question, dans le cas où $m$ et $n$ sont premiers entre eux, est-ce que tu arrives un élément d'ordre $mn$ dans $C_m \times C_n$ ?