surjectivité de l'application exponentielle
Bonjour, j'ai une question qui concerne la surjectivité de l'application exponentielle définie sur un groupe de Lie.
Sur l'exemple des matrices de rotation SO(3,R) et de son algèbre de Lie so(3,R) (qui est l'ensemble des matrices antisymétriques), on peut démontrer que l'application exponentielle exp : so(3,R) --> SO(3,R) est surjective mais on constate aussi que l'exponentielle n'est pas surjective si l'image est le groupe orthogonal O(n,R) (sachant que O(n,R) et SO(n,R) ont la même algèbre de Lie).
Donc moi ce qui me vient tout de suite à l'esprit c'est :
l'exponentielle est surjective si et seulement si le groupe de Lie est connexe (vu que c'est la seule différence entre O(n,R) et SO(n,R) )
Ma question est donc la suivante : ce que je dis est-il vrai ? Si oui comment le démontrer.
Merci de votre aide.
[En toute occasion, Sophus Lie (1842-1899) prend une majuscule. AD]
Sur l'exemple des matrices de rotation SO(3,R) et de son algèbre de Lie so(3,R) (qui est l'ensemble des matrices antisymétriques), on peut démontrer que l'application exponentielle exp : so(3,R) --> SO(3,R) est surjective mais on constate aussi que l'exponentielle n'est pas surjective si l'image est le groupe orthogonal O(n,R) (sachant que O(n,R) et SO(n,R) ont la même algèbre de Lie).
Donc moi ce qui me vient tout de suite à l'esprit c'est :
l'exponentielle est surjective si et seulement si le groupe de Lie est connexe (vu que c'est la seule différence entre O(n,R) et SO(n,R) )
Ma question est donc la suivante : ce que je dis est-il vrai ? Si oui comment le démontrer.
Merci de votre aide.
[En toute occasion, Sophus Lie (1842-1899) prend une majuscule. AD]
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Réponses
Edit : ajout de « connexe » !
Vu que l'exponentielle est surjective avec le groupe $SO(n,\mathbb{R})$ qui est compact et connexe.
Je voudrais aussi bien savoir comment le démontrer si possible.
Ou bien si vous pouvez juste me conseiller une référence qui démontre que $\exp : Lie(H)\longrightarrow H $ est surjective si et seulement $H$ est un groupe de [large]L[/large]ie linéaire compact et connexe . .
Merci de votre aide.
[En toute occasion, Sophus Lie (1842-1899) prend une majuscule. AD]
Pour la surjectivité de l'exponentielle sur un groupe de Lie compact, on peut le voir comme une conséquence du fait (non trivial) que dans un groupe compact, tout élément appartient à un conjugué d'un tore maximal fixé et du fait (facile) que l'exponentielle est surjective sur les tores. Voir par exemple ces notes de cours ou la référence donnée dans Wikipedia. Wikipedia en français invoque le théorème de Hopf-Rinow, via la comparaison de l'exponentielle des groupes de Lie et de l'exponentielle en géométrie riemannienne. Ce n'est pas trivial, quoi qu'il en soit. Dans le livre de Jacques Faraut Introduction aux groupes de Lie, les seuls résultats de surjectivités énoncés concernent $\mathrm{SU}_2(\C)$ et $\mathrm{SO}_3(\R)$.
Merci pour votre aide je vais essayer de comprendre au mieux cette histoire de tore, mais si il y a un moyen plus facile de le démontrer je vous serais reconnaissant de m'en informer, encore merci math coss.