[Débutant curieux] Ensembles NZDQRC & +

1) Pourquoi voudrais-tu qu'en prenant deux ensembles il y ait une relation d'inclusion entre les deux?
2) L'exposant astérisque affublé à un anneau signifie qu'on considère l'ensemble des unités de cet anneau: ensemble des éléments qui sont inversibles pour l'opération de multiplication de l'anneau.
Dans le cas d'un anneau qui est un corps comme $\mathbb{R}$ c'est aussi l'ensemble des éléments de ce corps qui ne sont pas nuls (qui ne sont pas l'élément neutre de l'addition).
3) Je ne comprends pas ce symbole.
Tu confonds peut-être avec $M_n\left(\mathbb{C}\right)$? qui est l'ensemble des matrices à n lignes, n colonnes à coefficients des nombres complexes.

Je tiens à faire une remarque par rapport à ce que tu viens de dire, Fin de Partie : bien que $A^\times$ représente en général l'ensemble des unités de $A$, souvent la notation astérisque, à côté d'un ensembles de "nombres" (l'un de ceux que OmegaSigmaDelta a mentionné) signifie "cet ensemble privé de $0$" (même si pour $\mathbb{Q,R}$ et $\mathbb{C}$ ça coïncide, ce n'est pas le cas pour $\mathbb{Z}$ par exemple)

Après, les lettres doubles barrées sont souvent des ensembles "usuels", c'est-à-dire assez utilisés pour qu'ils aient droit à un nom. Par exemple si je dis $\mathbb{R}$ sans plus de précision/contexte, ce sera par défaut l'ensemble des réels. Dans certains contextes, il peut arriver que cette convention disparaisse (on verra souvent $\mathbb{C}$ désigner une catégorie par exemple).

@moduloP : $\mathbb{F}_2$ peut aussi, selon le contexte, désigner le groupe libre sur $2$ générateurs ($\mathbb{F}$ pour "free")

Maintenant tu vas me demander ce qu'est un anneau.

Un exemple que tu connais sans doute est l'ensemble des entiers relatifs.
L'ensemble des entiers naturels n'est pas un anneau. Dans cet ensemble l'équation $x+1=0$ n'a pas de solution.

Un truc important est qu'avec l'habitude de calculer dans l'ensemble des entiers naturels (relatifs), des réels on se permet d'écrire des trucs comme $2*\sqrt{2}*\frac{1}{3}$
On sous-entend une propriété importante: l'associativité.
En fait on a:
$(ab)c=a(bc)$ et $(a+b)+c=a+(b+c)$

$a,b,c$ des réels (nombres complexes) quelconques

Ce qui permet de faire tomber les parenthèses ce qui permet d'écrire $2*\sqrt{2}*\frac{1}{3}$.

Mais en mathématiques on a éprouvé le besoin d'introduire des ensembles munis d'opérations qui ne vérifient pas cette propriété. ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Octonion )

Avant on avait mis en évidence des anneaux qui ne sont pas commutatifs
on n'a pas $a.b=b.a$.
C'est une propriété distincte de la propriété d'associativité.
Un anneau de matrices comme $M_n\left(\mathbb{C}\right)$ vérifie la propriété d'associativité mais pas celle de commutativité.

PS:
Un anneau est un ensemble muni de deux "opérations" qui ont certaines propriétés.
Quand on dit que $\mathbb{Z}$ est un anneau on fait un abus de langage. On sous-entend qu'on munit cet ensemble des opérations d'addition et de multiplication ordinaires.