Splines cubiques

Bonjour,

Je cherche à démontrer une formule générale d'une spline cubique utilisée dans la construction de la courbe des taux, cette formule s'écrit sous la forme suivante:
$f(s)=1+c_0 s + b_0 s^2 + a_0 s^3+ \sum_{i=1} ^n (a_i - a_{i-1})(s - k_i)_{+} ^3$
Avec: $(s-k_i)_{+}=max(s-k_i,0)$ et les $k_i$ sont les points de raccord

Si on arrive à démontrer cette formule pour trois points de raccord, c'est à dire: $f(s)=1+c_0 s + b_0s^2 + a_0s^3+ (a_1-a_0)(s-5)_{+} ^2 +(a_2-a_1)(s-1)_{+} ^3$, on peut généraliser la formule en $n$ points, en raisonnant par recurrence (n'est ce pas?), et pour démontrer cette dernière formule (trois points) il suffit de démontrer ces formules suivantes:

1) $f_0(s)=1+c_0 s + b_0s^2 + a_0s^3 $ pour $s\in [0,5]$
2) $f_1(s)= f_0(s) + (a_1-a_0)(s-5)^3$ pour $s\in [5,10]$
3) $f_2(s)=f_1(s) +(a_2-a_1)(s-10)^3$ pour $s\in [10,20]$

Les conditions:
$f_0 ^i (5)=f_1^i(5)$ , $f_1 ^i (10)=f_2^i(10)$ avec $f^i$ dérivée d'ordre $i$ et on a aussi $f(0)=1$

Quelqu'un peut m'aider? je pense que la démonstration est basée sur la construction d'un polynôme $p(s)=f_1(s)-f_0(s)$ par exemple?