éléments idempotents d'une famille d'anneaux

Steph_ntic · November 2017

Bonsoir j'ai un souci sur cet exercice.

Soit (A_i;+;.)_i, i compris entre n et 1, une famille d'anneaux commutatifs. On considère.

1_ quels sont les éléments idempotents de l'anneau (produit de i allant de 1 à n de A_i;+.)?
2_ trouver les éléments idempotents si tous les anneaux A_i sont intègres ?
3_ quels sont les éléments idempotents de (C(R;R);+;.)

GaBuZoMeu · November 2017

Qu'as-tu essayé ?
Qu'est-ce que ça veut dire, qu'un élément $(a_i)_{i=1,\ldots,n}$ du produit d'anneaux est un idempotent ?

Steph_ntic · November 2017

je sais que les éléments idempotent d'un anneau sont 0 et 1... (x;y) sont des élément idempotent de l'anneau AxA' si x est idempotent pour A et y est idempotent pour A'

BERETE Salifou · November 2017

Non plutôt les éléments e2=e avec e idempotents.mais si l'anneau est intégre on peut dire alors 0,1

Steph_ntic · November 2017

oui effectivement si on a e²=e on en déduit e²-e=0 et si l'anneau est intègre on en déduit le résultat... mais dans l’exercice on parle de l'anneau produit mais dans un cas général

BERETE Salifou · November 2017

Comme l'anneau produit est un anneau aussi et si tu prends tout les ei de l'anneau?
avec ei2=ei et ei l'élément idempotent du produit de la famille

GaBuZoMeu · November 2017

@Steph_ntic
À mon avis, ce qui est attendu comme réponse pour la question 1 est quelque chose du genre :
Un élément $(a_i)_{i=1,\ldots,n}$ de l'anneau produit $\prod_{i=1}^n A_i$ est un idempotent si et seulement si [condition nécessaire et suffisante portant sur les $a_i$].
Je te laisse formuler cette condition (qui n'a rien de sorcier).

éléments idempotents d'une famille d'anneaux

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