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éléments idempotents d'une famille d'anneaux

Envoyé par Steph_ntic 
éléments idempotents d'une famille d'anneaux
il y a deux semaines
Bonsoir j'ai un souci sur cet exercice.

Soit (Ai;+;.)i, i compris entre n et 1, une famille d'anneaux commutatifs. On considère.

1_ quels sont les éléments idempotents de l'anneau (produit de i allant de 1 à n de Ai;+.)?
2_ trouver les éléments idempotents si tous les anneaux Ai sont intègres ?
3_ quels sont les éléments idempotents de (C(R;R);+;.)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par AD.
Re: élément idempotent d'une famille d'anneau
il y a deux semaines
Qu'as-tu essayé ?
Qu'est-ce que ça veut dire, qu'un élément $(a_i)_{i=1,\ldots,n}$ du produit d'anneaux est un idempotent ?
Re: élément idempotent d'une famille d'anneau
il y a deux semaines
je sais que les éléments idempotent d'un anneau sont 0 et 1... (x;y) sont des élément idempotent de l'anneau AxA' si x est idempotent pour A et y est idempotent pour A'
Re: élément idempotent d'une famille d'anneau
il y a deux semaines
Non plutôt les éléments e2=e avec e idempotents.mais si l'anneau est intégre on peut dire alors 0,1
Re: élément idempotent d'une famille d'anneau
il y a deux semaines
oui effectivement si on a e2=e on en déduit e2-e=0 et si l'anneau est intègre on en déduit le résultat... mais dans l’exercice on parle de l'anneau produit mais dans un cas général
Re: élément idempotent d'une famille d'anneau
il y a deux semaines
Comme l'anneau produit est un anneau aussi et si tu prends tout les ei de l'anneau?
avec ei2=ei et ei l'élément idempotent du produit de la famille
Re: élément idempotent d'une famille d'anneau
il y a deux semaines
@Steph_ntic
À mon avis, ce qui est attendu comme réponse pour la question 1 est quelque chose du genre :
Un élément $(a_i)_{i=1,\ldots,n}$ de l'anneau produit $\prod_{i=1}^n A_i$ est un idempotent si et seulement si [condition nécessaire et suffisante portant sur les $a_i$].
Je te laisse formuler cette condition (qui n'a rien de sorcier).
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