Z/3ZxZ/3Z et Z/9Z sont-ils isomorphes
Bonjour,
Avec hésitation, ma réponse à la question est oui: $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ sont isomorphes.
Ce qui me fait penser cela c'est que tout groupe fini de cardinal $n$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et il me semble que $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ est de cardinal 9.
J'ai envie de le démontrer en considérant ce morphisme de groupes :
$f: \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$
$(\overline{i},\overline{j}) \rightarrow \overline{3i+j}$
Mais avant je voulais vous demander d'abord si cette démarche est juste?
Merci beaucoup pour votre aide!
Avec hésitation, ma réponse à la question est oui: $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ sont isomorphes.
Ce qui me fait penser cela c'est que tout groupe fini de cardinal $n$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et il me semble que $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ est de cardinal 9.
J'ai envie de le démontrer en considérant ce morphisme de groupes :
$f: \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$
$(\overline{i},\overline{j}) \rightarrow \overline{3i+j}$
Mais avant je voulais vous demander d'abord si cette démarche est juste?
Merci beaucoup pour votre aide!
Réponses
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marwanus : a écrit:Ce qui me fait penser cela c'est que tout groupe fini de cardinal $n$ est isomorphe à $\mathbb Z/n\mathbb ?$...
Le groupe $\mathfrak S_3$ a six éléments, et il n'est pas commutatif.
Bruno -
En effet,
Si $\mathfrak S_3$ était isomorphe à $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $\mathfrak S_3$ serarit abélien.
Merci Bruno, au temps pour moi! -
Pas de problème :-D.
Bruno -
Peux-tu me montrer un élément d'ordre 9 dans $\Z/3\Z\times \Z/3\Z$ ?
-
Merci GaBuZoMeu,
Je n'en trouve pas, j'ai l'impression que tous les éléments différents du neutre dans $\Z/3\Z\times \Z/3\Z$ sont d'ordre 3 pour l'addition.
Donc s'il n'y a pas d'éléments d'ordre 9, ceci impliquerait que $\Z/3\Z\times \Z/3\Z$ et $\Z/9\Z$ ne sont pas isomorphes.
Est-ce qu'elle porte un nom cette propriété?
Merci beaucoup -
Ces deux groupes ne sont pas isomorphes car 3 et 3 ne sont pas premiers entre eux.
Considère maintenant les groupes $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$
sont-ils isomorphes?
Et plus généralement,
Considère maintenant les groupes $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ avec $m,n$ deux entiers naturels>1, premiers entre eux.
sont-ils isomorphes?
PS:
Cette propriété est un cas particulier d'un résultat d'algèbre. -
Tu peux essayer d’écrire une table d’addition pour ces deux groupes, tu vas vite voir.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Quelle propriété utilises-tu pour affirmer cela?Fin de Partie a écrit:Ces deux groupes ne sont pas isomorphes car 3 et 3 ne sont pas premiers entre eux. -
@shah : Il y a une réciproque peu connue du théorème chinois !
@marwanus : il est complètement faux de penser que tout groupe d'ordre $n$, même abélien, est isomorphe à $\mathbb Z/n \mathbb Z$. Si c'était vrai, on ne se donnerait pas tant de mal à étudier les groupes finis. Il peut y avoir beaucoup de groupes d'ordre $n$ différents à isomorphisme près. Par exemple (d'après wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups) il y a $2328$ groupes d'ordre $128$ à isomorphisme près ! -
Oui, mais je n'étais pas bien sûr que c'est ce à quoi pensait FdP (je me souviens encore de "tout nombre n'est pas la somme de deux carrés, puisque le théorème affirme que tout nombre est la somme de quatre carrés", ou quelque chose comme ça).
-
Je vous remercie pour votre aide.
@Fin de partie:
Je ne comprends pas pourquoi le fait que $3$ et $3$ ne sont pas premiers entre engendre le non isomorphisme?
Je connais le lemme chinois et un corollaire du premier théorème d'isomorphisme mais ils concernent plutôt la réciproque.
ferais-tu référence comme soulignait Poirot à cette : réciproque du lemme chinois ?
@Nicolas:
En effet j'ai écrit la table d'addition et je trouve 9 éléments différents mais cela ne m'avance pas pour prouver le non isomorphisme, je me trompe ?
@Poirot:
Excuse-moi de te faire répéter, je ne comprends pas : Il peut y avoir beaucoup de groupes d'ordre $n$ différents à isomorphisme près.
Comment ces groupes sont différents alors qu'ils sont isomorphes?
Dans ma compréhension, deux groupes isomorphes sont quelque part semblables, voire identiques, comment pourraient-ils être différents?
Par ailleurs, est-ce qu'il serait faux aussi de le penser pour le cas de n premier ?
Je vous remercie! -
Tu vois bien que les deux tables n’ont pas la même tête.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
@ marwanus
Sais-tu ce qu'est un isomorphisme ? -
Il y a une vaste infinité (une classe propre, en fait) de groupes d'ordre $n$ isomorphes les uns aux autres. Par contre il y a un nombre fini mais grand de classes d'isomorphie de groupes d'ordre $n$.
-
Si deux groupes sont isomorphes, un isomorphisme envoie un élément de l'un sur un élément de l'autre qui est de même ordre. Même moi qui n'ai pratiquement pas fait d'algèbre « moderne » depuis quarante ans je sais ça. On en vient à l'indication fondamentale de GBMZ : si tes deux groupes étaient isomorphes, alors dans $ \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} $ il y aurait un générateur, autrement dit un élément d'ordre $9$ comme dans $ \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} $.
Pas besoin que cette observation triviale ait un nom, pas besoin de la réciproque du théorème des restes chinois - qui peut être utile à connaître par ailleurs.
Alors tu regardes les ordres des éléments de $ \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, ou même seulement de la moitié, et basta. -
Ou même sans en regarder un seul, tu observes que si $x$ est d'ordre $n$ dans G et $y$ est d'ordre $m$ dans $H$ alors $(x,y)$ est d'ordre ... dans $G \times H$. Or un élément de $\Z / 3\Z$ ne peut être que d'ordre ... ou ...
Pour mon message sur les classes d'isomorphie, c'était largement du hors-sujet. -
Shah d'Ock:
Tu viens d'écrire la réponse que je voulais te faire.
et je me souviens aussi que $\text{PGCD}(a,b)\times \text{PPCM(a,b)}=ab$ avec $a,b$ des entiers naturels non nuls. -
@marwanus : ce que je voulais dire est qu'en général, on identifie des groupes isomorphes entre eux. En ce sens, il peut y avoir beaucoup de groupes différents d'ordre $n$. Par exemple il y a deux groupes d'ordre $4$ (à isomorphisme près) : il s'agit de $\mathbb Z/4 \mathbb Z$ et $\mathbb Z/2 \mathbb Z \times \mathbb Z/2 \mathbb Z$. Ces groupes ne sont pas isomorphes, et tout groupe d'ordre $4$ est isomorphe à l'un d'eux. Et dans mon message précédent, je disais (en citant wikipedia) qu'il y a $2328$ groupes différents d'ordre $128$ (encore une fois, à isomorphisme près).
-
@Poirot:
J'ai bien compris cette notion d'isomorphisme près qui m'échappait, merci!
@Shah d'Ock:
Pour remplir les vides: si $x$ est d'ordre $n$ dans $G$ et $y$ est d'ordre $m$ dans $H$ alors (x,y) est d'ordre $PPCM(mn)$ dans $G×H$. Or un élément de Z/3Z ne peut être que d'ordre 1 ou 3(les diviseurs de 3) et j'imagine qu'ensuite tu te bases sur le fait que l'isomorphisme conserve l'ordre d'un élément.
@Chaurien:
Je suis content d'avoir enfin un commentaire de ta part non lié à des erreurs de français
Cette propriété que tu appelles observation triviale n'en est pas une pour le pauvre débutant que je suis. Alors je me la suis démontrée.
Merci à tous pour votre aide! -
Le nombre de groupes abéliens d'ordre $N= \prod_{j=1}^l p_j^{e_j}$ c'est $\prod_{j=1}^l P(e_j)$ où $P$ est la fonction qui compte le nombre de partitions : $P(3) =3 $ parce que $3 = 2+1 = 1+1+1$
Preuve : n'importe quel groupe abélien est un produit direct de groupes cycliques d'ordre $p^d \ \mid \ |G|$.
Quand on compte le nombre de groupes abéliens et non-abéliens, ça devient beaucoup plus compliqué.
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