Z/3ZxZ/3Z et Z/9Z sont-ils isomorphes
Bonjour,
Avec hésitation, ma réponse à la question est oui: $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ sont isomorphes.
Ce qui me fait penser cela c'est que tout groupe fini de cardinal $n$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et il me semble que $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ est de cardinal 9.
J'ai envie de le démontrer en considérant ce morphisme de groupes :
$f: \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$
$(\overline{i},\overline{j}) \rightarrow \overline{3i+j}$
Mais avant je voulais vous demander d'abord si cette démarche est juste?
Merci beaucoup pour votre aide!
Avec hésitation, ma réponse à la question est oui: $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ sont isomorphes.
Ce qui me fait penser cela c'est que tout groupe fini de cardinal $n$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et il me semble que $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ est de cardinal 9.
J'ai envie de le démontrer en considérant ce morphisme de groupes :
$f: \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$
$(\overline{i},\overline{j}) \rightarrow \overline{3i+j}$
Mais avant je voulais vous demander d'abord si cette démarche est juste?
Merci beaucoup pour votre aide!
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Réponses
Le groupe $\mathfrak S_3$ a six éléments, et il n'est pas commutatif.
Bruno
Si $\mathfrak S_3$ était isomorphe à $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $\mathfrak S_3$ serarit abélien.
Merci Bruno, au temps pour moi!
Bruno
Je n'en trouve pas, j'ai l'impression que tous les éléments différents du neutre dans $\Z/3\Z\times \Z/3\Z$ sont d'ordre 3 pour l'addition.
Donc s'il n'y a pas d'éléments d'ordre 9, ceci impliquerait que $\Z/3\Z\times \Z/3\Z$ et $\Z/9\Z$ ne sont pas isomorphes.
Est-ce qu'elle porte un nom cette propriété?
Merci beaucoup
Considère maintenant les groupes $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$
sont-ils isomorphes?
Et plus généralement,
Considère maintenant les groupes $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ avec $m,n$ deux entiers naturels>1, premiers entre eux.
sont-ils isomorphes?
PS:
Cette propriété est un cas particulier d'un résultat d'algèbre.
-- Schnoebelen, Philippe
@marwanus : il est complètement faux de penser que tout groupe d'ordre $n$, même abélien, est isomorphe à $\mathbb Z/n \mathbb Z$. Si c'était vrai, on ne se donnerait pas tant de mal à étudier les groupes finis. Il peut y avoir beaucoup de groupes d'ordre $n$ différents à isomorphisme près. Par exemple (d'après wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups) il y a $2328$ groupes d'ordre $128$ à isomorphisme près !
@Fin de partie:
Je ne comprends pas pourquoi le fait que $3$ et $3$ ne sont pas premiers entre engendre le non isomorphisme?
Je connais le lemme chinois et un corollaire du premier théorème d'isomorphisme mais ils concernent plutôt la réciproque.
ferais-tu référence comme soulignait Poirot à cette : réciproque du lemme chinois ?
@Nicolas:
En effet j'ai écrit la table d'addition et je trouve 9 éléments différents mais cela ne m'avance pas pour prouver le non isomorphisme, je me trompe ?
@Poirot:
Excuse-moi de te faire répéter, je ne comprends pas : Il peut y avoir beaucoup de groupes d'ordre $n$ différents à isomorphisme près.
Comment ces groupes sont différents alors qu'ils sont isomorphes?
Dans ma compréhension, deux groupes isomorphes sont quelque part semblables, voire identiques, comment pourraient-ils être différents?
Par ailleurs, est-ce qu'il serait faux aussi de le penser pour le cas de n premier ?
Je vous remercie!
-- Schnoebelen, Philippe
Sais-tu ce qu'est un isomorphisme ?
un isomorphisme est un morphisme bijectif et je sais ce que c'est qu'un morphisme.
Je te remercie.
Je te remercie! J'ai l'impression que je manque de littérature ou d'outils pour comprendre cette notion de classes d'isomorphismes...
Je vais me renseigner la dessus.
Pas besoin que cette observation triviale ait un nom, pas besoin de la réciproque du théorème des restes chinois - qui peut être utile à connaître par ailleurs.
Alors tu regardes les ordres des éléments de $ \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, ou même seulement de la moitié, et basta.
Pour mon message sur les classes d'isomorphie, c'était largement du hors-sujet.
Tu viens d'écrire la réponse que je voulais te faire.
et je me souviens aussi que $\text{PGCD}(a,b)\times \text{PPCM(a,b)}=ab$ avec $a,b$ des entiers naturels non nuls.
J'ai bien compris cette notion d'isomorphisme près qui m'échappait, merci!
@Shah d'Ock:
Pour remplir les vides: si $x$ est d'ordre $n$ dans $G$ et $y$ est d'ordre $m$ dans $H$ alors (x,y) est d'ordre $PPCM(mn)$ dans $G×H$. Or un élément de Z/3Z ne peut être que d'ordre 1 ou 3(les diviseurs de 3) et j'imagine qu'ensuite tu te bases sur le fait que l'isomorphisme conserve l'ordre d'un élément.
@Chaurien:
Je suis content d'avoir enfin un commentaire de ta part non lié à des erreurs de français
Cette propriété que tu appelles observation triviale n'en est pas une pour le pauvre débutant que je suis. Alors je me la suis démontrée.
Merci à tous pour votre aide!
Preuve : n'importe quel groupe abélien est un produit direct de groupes cycliques d'ordre $p^d \ \mid \ |G|$.
Quand on compte le nombre de groupes abéliens et non-abéliens, ça devient beaucoup plus compliqué.