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Problème dans la correction de cet exo ?

Envoyé par anzn 
Problème dans la correction de cet exo ?
il y a trois semaines
Bonsoir,

Pour la question 1, je ne vois pas pourquoi ils disent que alpha = 0 car 0^2 + 0 + 1 = 1, pas 0...

Merci d’avance


Re: Problème dans la correction de cet exo ?
il y a trois semaines
avatar
Oui, non, il n'y a pas de solution dans $\R$ du tout.

J'aime bien votre pseudo.

--
Si l'on veut connaître le contenu d'une boîte, mieux vaut disposer d'un ouvre-boîte que d'une théorie axiomatique des boîtes.
Re: Problème dans la correction de cet exo ?
il y a trois semaines
Oui pas de solution réelle donc je peux bien en conclure une contradiction ? Mais comment exactement ?
Pour la question 2, je ne comprends pas trop par contre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Problème dans la correction de cet exo ?
il y a deux semaines
Pour la question c’est bon du coup mais la 2 je bloque...
Help svp



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par AD.
Re: Problème dans la correction de cet exo ?
il y a deux semaines
Suppose la famille liée : a x + b u (x) + c y + d u(y) = 0
En appliquant u a cette égalité et en utilisant u² + u + id = 0 , tu arrives à y combinaison linéaire de x et u(x).
Re: Problème dans la correction de cet exo ?
il y a deux semaines
Si j’applique u, j’obtiens : au(x) + bu^2(x) + cu(y) + du^2(y) mais après je vois pas comment utiliser le fait que u^2 + u + id = 0...
Re: Problème dans la correction de cet exo ?
il y a deux semaines
Ça marche que si je prends a = b = c = d = 1 mais ce n’est pas un cas général...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par AD.
Re: Problème dans la correction de cet exo ?
il y a deux semaines
AD
Re: Problème dans la correction de cet exo ?
il y a deux semaines
avatar
Citation
anzn
comment utiliser le fait que u^2 + u + id = 0

Tu tires $u^2=-u-id$ et tu réinjectes dans ton équation pour obtenir une combinaison linéaire entre $x$ et $u(x)$.
Alain



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par AD.
Re: Problème dans la correction de cet exo ?
il y a deux semaines
avatar
Bonsoir,

Vu que $(x,\,u(x),\,y)$ est $\R$-libre, il existerait des réels $a$, $b$ et $c$ non tous nuls tels que\[u(y)=a\,x+b\,u(x)+c\,y\]Partant, l'on aurait\[u^2(y)=-u(y)-y=-(a\,x+b\,u(x)+c\,y)-y=\cdots\text{ et }\\u^2(y)=a\,u(x)+b\,u^2(x)+c\,u(y)=a\,u(x)+b\,(-u(x)-x)+c\,(a\,x+b\,u(x)+c\,y)=\cdots\]En utilisant la $\R$-liberté de $(x,\,u(x),\,y)$ et le fait que $1+c+c^2=0$ n'admet aucune racine réelle, l'on obtient une contradiction.

Cordialement,

Thierry
Re: Problème dans la correction de cet exo ?
il y a deux semaines
Pas compris dsl
Re: Problème dans la correction de cet exo ?
il y a deux semaines
Si $y$ n'appartient pas à $\mbox{Vect}(x,u(x)),$ alors il suffit de montrer (par la première question) que $u(y)$ n'appartient pas à $\mbox{Vect}(x,u(x)).$ Si c'était le cas, alors on aurait $\alpha x + \beta u(x)= u(y).$ En composant par $u,$ on obtient $(\alpha-\beta)u(x)-\beta x = -(y+u(y)).$ D'où l'on tire $y=(\beta-\alpha)x + (\beta-2\alpha)u(x).$ Mais alors $\alpha=\beta=0.$ Une contradiction! Ainsi, $\mbox{Vect}(x,u(x))$ et $\mbox{Vect}(y,u(y))$ sont en somme directe, pour des raisons de dimension, $(x,u(x),y,u(y))$ est une base de $E.$
Plus précisément, posons $\displaystyle E_{x,y}=\mbox{Vect}(x,u(x),y) \mbox{ et } E_{y,x}=\mbox{Vect}(y,u(y),x).$ On a alors par la formule de Grassmann $$\mbox{dim}(E_{x,y}+E_{y,x})=\mbox{dim}(E_{x,y})-\mbox{dim}(E_{y,x})-\mbox{dim}(E_{x,y}\cap E_{y,x})=3+3-2=4.$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par BobbyJoe.
Re: Problème dans la correction de cet exo ?
il y a deux semaines
avatar
Bonjour,

Les hypothèses sont celles de l'énoncé. L'on a clairement\[y\not\in\mathrm{vect}(x,\,u(x))\Leftrightarrow(x,\,u(x),\,y)\text{ est }\R\text{-libre}\]Ok ? A la suite de Balix, supposons la famille $(x,\,u(x),\,y,\,u(y))$ $\R$-liée. Il existerait donc des réels $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et $\delta$ non tous nuls tels que\[\alpha\,x+\beta\,u(x)+\gamma\,y+\delta\,u(y)=0_E\]Ok ? Si l'on avait $\delta=0$, alors $\alpha=\beta=\gamma=0$ nécessairement ; d'où $\delta\ne0$. Partant, il revient au même d'écrire qu'il existerait des réels $a$, $b$ et $c$ non tous nuls tels que\[u(y)=a\,x+b\,u(x)+c\,y\]Ok ? Alors, d'une part, l'on aurait\[u^2(y)=-u(y)-y=-a\,x-b\,u(x)-c\,y-y=-a\,x-b\,u(x)-(1+c)\,y\quad(\bullet)\]et, d'autre part,\[u^2(y)=u(a\,x+b\,u(x)+c\,y)=a\,u(x)+b\,(-u(x)-x)+c\,u(y)\\=(a-b)\,u(x)-b\,x+c\,(a\,x+b\,u(x)+c\,y)=(a\,c-b)\,x+(b\,c+a-b)\,u(x)+c^2\,y\quad(\bullet\bullet)\]Ok ? Au final, en vertu de $(\bullet)$ et $(\bullet\bullet)$, l'on obtiendrait\[(a\,c+a-b)\,x+(b\,c+a)\,u(x)+(1+c+c^2)\,y=0_E\]avec $(x,\,u(x),\,y)$ $\R$-libre, d'où\[a\,c+a-b=b\,c+a=1+c+c^2=0\] nécessairement et dont on sait que $1+c+c^2\ne0$. Etant conduit à une contradiction, l'on a nécessairement $(x,\,u(x),\,y,\,u(y))$ $\R$-libre, comme attendu.

Sauf erreurs !!

Cordialement,

Thierry
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