Problème dans la correction de cet exo ?

Suppose la famille liée : a x + b u (x) + c y + d u(y) = 0
En appliquant u a cette égalité et en utilisant u² + u + id = 0 , tu arrives à y combinaison linéaire de x et u(x).

anzn a écrit:

comment utiliser le fait que u^2 + u + id = 0

Tu tires $u^2=-u-id$ et tu réinjectes dans ton équation pour obtenir une combinaison linéaire entre $x$ et $u(x)$.
Alain

Bonjour,

Les hypothèses sont celles de l'énoncé. L'on a clairement\[y\not\in\mathrm{vect}(x,\,u(x))\Leftrightarrow(x,\,u(x),\,y)\text{ est }\R\text{-libre}\]Ok ? A la suite de Balix, supposons la famille $(x,\,u(x),\,y,\,u(y))$ $\R$-liée. Il existerait donc des réels $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et $\delta$ non tous nuls tels que\[\alpha\,x+\beta\,u(x)+\gamma\,y+\delta\,u(y)=0_E\]Ok ? Si l'on avait $\delta=0$, alors $\alpha=\beta=\gamma=0$ nécessairement ; d'où $\delta\ne0$. Partant, il revient au même d'écrire qu'il existerait des réels $a$, $b$ et $c$ non tous nuls tels que\[u(y)=a\,x+b\,u(x)+c\,y\]Ok ? Alors, d'une part, l'on aurait\[u^2(y)=-u(y)-y=-a\,x-b\,u(x)-c\,y-y=-a\,x-b\,u(x)-(1+c)\,y\quad(\bullet)\]et, d'autre part,\[u^2(y)=u(a\,x+b\,u(x)+c\,y)=a\,u(x)+b\,(-u(x)-x)+c\,u(y)\\=(a-b)\,u(x)-b\,x+c\,(a\,x+b\,u(x)+c\,y)=(a\,c-b)\,x+(b\,c+a-b)\,u(x)+c^2\,y\quad(\bullet\bullet)\]Ok ? Au final, en vertu de $(\bullet)$ et $(\bullet\bullet)$, l'on obtiendrait\[(a\,c+a-b)\,x+(b\,c+a)\,u(x)+(1+c+c^2)\,y=0_E\]avec $(x,\,u(x),\,y)$ $\R$-libre, d'où\[a\,c+a-b=b\,c+a=1+c+c^2=0\] nécessairement et dont on sait que $1+c+c^2\ne0$. Etant conduit à une contradiction, l'on a nécessairement $(x,\,u(x),\,y,\,u(y))$ $\R$-libre, comme attendu.

Sauf erreurs !!

Cordialement,

Thierry