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Polynôme irréductible, corps fini

bouribouri
dans Algèbre
Bonjour à tous/toutes,
J'ai un petit problème de compréhension concernant cette partie de mon cours.

Soit p un nombre premier, q=pm avec m entier. Pour montrer l'existence d'un polynôme irréductible de degré n sur Fq, on montre que Fqn=Fq(a) avec a un générateur de Fqn

Et ensuite, on en déduit que le degré du polynôme minimal de a sur Fq est n. Je ne comprends pas très bien cela. Cela revient à dire que [Fqn:Fq]=n... Comment le montrer ?
Merci d'avance.

Réponses

  • PoirotPoirot
    $\mathbb F_q^n$ est un $\mathbb F_q$-espace vectoriel de dimension $n$ pour des raisons de cardinalité !
  • bouribouri
    C'est en utilisant que pour tout corps fini K,
    |K|=p[K:Fp] avec p la caractéristique de K?
  • MaxtimaxMaxtimax
    @bouri : plus généralement, si $K$ est un corps fini, $L$ un sous-corps, alors $|K| = |L|^{[K: L]}$
  • bouribouri
    Ah oui d'accord, merci beaucoup.
    Cette égalité c'est par définition du degré de l'extension ?
  • MaxtimaxMaxtimax
    Oui : le degré de l'extension est la dimension de $K$ en tant que $L$-espace vectoriel; et un $L$ espace vectoriel de dimension $n$ est de cardinal $|L|^n$
  • bouribouri
    Je crois que j'ai un peu du mal avec les espaces vectoriels et les degrés...
    Merci pour vos réponses, bonne journée
  • PoirotPoirot
    Il suffit de commrendre que tous les $K$-espaces vectoriels de dimension $n$ fixée, où $K$ est un corps quelconque, sont isomorphes à $K^n$. En particulier, un $\mathbb F_q$-espace vectoriel est de dimension $n$ si et seulement si il est de cardinal $q^n$. Pour l’implication directe je viens de le dire, pour l’implication réciproque, il suffit de dire que si $d$ est la dimension (nécessairement finie ici) sur $\mathbb F_q$, alors l’espace vectoriel en question est isomorphe à $(\mathbb F_q)^d$, ce qui impose $d=n$ dans notre cas.

    Dans le cas des extensions de corps, si $L$ est une extension du corps $K$, alors $L$ est naturellement muni d’une structure de $K$-espace vectoriel, et le degré $[L : K]$ est simplement la dimension de $L$ en tant que $K$-espace vectoriel. Ici $\mathbb F_{q^n}$ est une extension de corps de $\mathbb F_q$ de cardinal $q^n$ par définition, et d’après ce qui précède on a $[\mathbb F_{q^n} : \mathbb F_q]=n$.
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