Polynôme irréductible, corps fini
Bonjour à tous/toutes,
J'ai un petit problème de compréhension concernant cette partie de mon cours.
Soit p un nombre premier, q=pm avec m entier. Pour montrer l'existence d'un polynôme irréductible de degré n sur Fq, on montre que Fqn=Fq(a) avec a un générateur de Fqn
Et ensuite, on en déduit que le degré du polynôme minimal de a sur Fq est n. Je ne comprends pas très bien cela. Cela revient à dire que [Fqn:Fq]=n... Comment le montrer ?
Merci d'avance.
J'ai un petit problème de compréhension concernant cette partie de mon cours.
Soit p un nombre premier, q=pm avec m entier. Pour montrer l'existence d'un polynôme irréductible de degré n sur Fq, on montre que Fqn=Fq(a) avec a un générateur de Fqn
Et ensuite, on en déduit que le degré du polynôme minimal de a sur Fq est n. Je ne comprends pas très bien cela. Cela revient à dire que [Fqn:Fq]=n... Comment le montrer ?
Merci d'avance.
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Réponses
|K|=p[K:Fp] avec p la caractéristique de K?
Cette égalité c'est par définition du degré de l'extension ?
Merci pour vos réponses, bonne journée
Dans le cas des extensions de corps, si $L$ est une extension du corps $K$, alors $L$ est naturellement muni d’une structure de $K$-espace vectoriel, et le degré $[L : K]$ est simplement la dimension de $L$ en tant que $K$-espace vectoriel. Ici $\mathbb F_{q^n}$ est une extension de corps de $\mathbb F_q$ de cardinal $q^n$ par définition, et d’après ce qui précède on a $[\mathbb F_{q^n} : \mathbb F_q]=n$.