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Une technique inconnue

Envoyé par Piteux_gore 
Une technique inconnue
il y a trois semaines
Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer la solution ci-jointe, à partir de Multiplions... ?

Merci d'avance


Re: Une technique inconnue
il y a deux semaines
avatar
Où as-tu trouvé ça ?
Ma réflexion : multiplier la fonction $y$ par une constante (ici $\lambda \mu$) ne change pas la position des points critiques.
On se ramène donc à la situation où on cherche les points critiques d'une fonction $f = f_1 f_2 f_3$ où la somme $f_1+f_2 +f_3$ est constante.
Est-ce que dans ce cas précis les points critiques ne seraient pas précisément les solutions de $f_1(x)=f_2(x)=f_3 (x)$ (1) ?

edit : déjà si $x$ vérifie (1) alors $f'(x)=0$...
si $abc$ est un produit de 3 variables positives avec $a+b+c$ constant alors le max est pris pour $a=b=c$, il faut sans doute regarder par là pour éviter de parler de dérivée.
edit 2 : désolé je ne sais pas pourquoi le pdf est horizontal...theorem 2.6a... toujours dans le cas où les 3 fonctions sont positives



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par AD.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - niven2.pdf (56.1 KB)
Re: Une technique inconnue
il y a deux semaines
avatar
Bizarre, dans un Forum, on s'efforce à démontrer un truc faux [www.ilemaths.net] : demontrer que cos(x)+cos(2x)+cos(3x)=0 ?

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Une technique inconnue
il y a deux semaines
avatar
J'ai du mal à saisir le sens de ton post gebrane.
Re: Une technique inconnue
il y a deux semaines
RE

L'exercice date d'une époque où les lycéens ne connaissaient pas les dérivées, mais la solution proposée ici me déroute.

A+
Re: Une technique inconnue
il y a deux semaines
avatar
En gros, on veut les extrema de la fonction $f(X)= (X-a)(X-b)(X-c)$ dans notre cas (j'oublie le $\dfrac{1}{4}$ et je prend $X=cos(x)$).
On cherche $\lambda$ et $\mu$ réels tels que pour tout $X$, $\lambda (X-a) + \mu (X-b) + (X-c)$ est une fonction constante.
Ce n'est certainement pas toujours possible dans un cas plus général...
On en déduit donc $\lambda + \mu +1=0$ (1).
On s'est ramené à l'étude des extrema de la fonction $\overline{f} (X) = f_1 (X) f_2 (X) f_3 (X)$. avec $f_1 +f_2 +f_3$ constante.
D'après ce qui est fait, les points critiques (là où il y a des extrema, points d'inflexion) seraient exactement les solutions de $f_1(X)=f_2 (X)=f_3 (X)$.
On trouve avec ça que si $X_0$ est un point critique, on a $\lambda = \dfrac{X_0-c}{X_0 -a}$ et $\mu=\dfrac{X_0-c}{X_0 -b}$.
En réinjectant dans (1) : $ \dfrac{X_0-c}{X_0 -a} + \dfrac{X_0-c}{X_0 -b}+1=0$.
Remarque là que si on met tout ça sur le même dénominateur on retrouve l'équation $f'(X_0)=0$.
Après on en déduit une équation du second degré en $X_0$.
Voilà comment je vois la chose, mais ça fait beaucoup de spéculations.
Re: Une technique inconnue
il y a deux semaines
@ Piteux_gore
C'est toujours ton Journal de Mathématiques Élémentaires de Bourget, je suppose, quelle année ?
Je rappelle tes excellentes recherches sur ces précieuses anciennes revues :
[www.les-mathematiques.net]

Crapul a eu bien raison de citer l'excellent livre d'Ivan Niven , Maxima and Minima without Calculus, MAA, 1981.
« Calculus », c'est l'analyse élémentaire de L1-L2, fonctions, dérivées, intégrales des fonctions continues, etc. Ce livre offre une très riche collection de calculs d'extrémums sans dérivées, jusqu'au théorème d'Erdös-Mordell, la loi de la réfraction ou l'angle du fond des alvéoles des abeilles.

C'est une telle méthode qu'applique ton extrait, en utilisant le principe : si trois nombres positifs ont une somme constante, leur produit est maximum quand ils sont égaux. Je dis trois parce qu'ici il y en a trois, mais on sait que c'est vrai pour $n$ nombres. C'est une variante de l'inégalité des moyennes arithmétique-géométrique, qui peut se prouver sans analyse, de plusieurs manières. Mais dans le problème posé, il n'est pas dit que les trois nombres doivent être positifs, et de plus on ne voit pas comment ce principe s'applique au minimum. Il faudrait y regarder de plus près, si l'on juge que c'est intéressant...

Bonne journée.
Fr. Ch.
Re: Une technique inconnue
il y a deux semaines
avatar
@Crapul
Sauf étourderie de ma part, dans le lien que j'ai donné, la question était de démontrer que cos(x)+cos(2x)+cos(3x)=0 ce qui est faux et justement ta question c'est de trouver le max et le min de x --->cos(x)+cos(2x)+cos(3x)

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Une technique inconnue
il y a deux semaines
avatar
Le type a mal posé sa question, mais les intervenants ont bien compris qu'il cherchait les zéros de la fonction et non à montrer que la fonction est nulle.
Re: Une technique inconnue
il y a deux semaines
@ Gebrane.
J'ai plutôt l'impression que dans le forum que tu cites il est plutôt question de résoudre l'équation : $\cos x + \cos 2x + \cos 3x=0$.
Re: Une technique inconnue
il y a deux semaines
avatar
Bonjour,

On cherche les extrema d’une fonction produit de trois fonctions réelles $abc$ telles que $a+b+c$ est une constante. On ne sait rien des signes de ces fonctions (et on s’en fout).

@Crapul : tu demandes si ceci implique $a=b=c$, la réponse est non.

Par exemple, $a=-\cos x+1, b=\cos x+1, c=3$ la fonction vaut $3\sin^2 x$ qui possède bien des minima et des maxima mais on n’a jamais $b=c.$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par YvesM.
Re: Une technique inconnue
il y a deux semaines
avatar
Oui, le théorème que je cite dit bien quand on peut avoir l'égalité.
Re: Une technique inconnue
il y a deux semaines
avatar
Dans le cas positif , affirmatif [vivienfrederic.free.fr]

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Une technique inconnue
il y a six jours
Bonjour,

Je pense que l'exercice suivant relève du même principe :
trouver le maximum de f(x) = (x - a)n/xm pour x - a positif et m > n.
Pour toute constante k on a km-nf(x) = [(x - a)/x]n.(k/x)m-n ; on choisit alors k tel que la somme des facteurs, à savoir n(x - a)/x + (m - n)k/x, soit une constante (indépendante de x).
Cela donne k = an/(m - n) et le maximum est alors atteint quand tous les facteurs sont égaux, donc pour x = am/(m - n).

A+
Re: Une technique inconnue
il y a cinq jours
avatar
je pense qu'il y a un tas de manières de démontrer ce problème on pourrait par simple fantaisie utiliser la formule de Héron [www.maa.org] (une preuve sans mots)
Pour ton problème $f(x)=\frac{(x-a)^n}{x^m}$ je ne saurais faire assez l'éloge de la méthode des "Sweep Tangent" voir ici

Ps: je sais que je fais un peu de hors sujet mais j'aime toujours faire de la pub pour des trucs qui me semble intéressants

Le nombre de Dottie ou...ce qu'il en reste [math.stackexchange.com]
Re: Une technique inconnue
il y a trois jours
Bonjour,

Le livre de Justin Bourget Algèbre élémentaire (1880), disponible sur Gallica, présente la méthode sous-jacente à l'exercice donné en début de fil.

A+



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois jours et a été effectuée par Piteux_gore.
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