Une technique inconnue

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Algèbre
Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer la solution ci-jointe, à partir de Multiplions... ?

Merci d'avance69990
Arcsinus arcsinum fricat.

Réponses

  • Crapul
    Crapul
    Où as-tu trouvé ça ?
    Ma réflexion : multiplier la fonction $y$ par une constante (ici $\lambda \mu$) ne change pas la position des points critiques.
    On se ramène donc à la situation où on cherche les points critiques d'une fonction $f = f_1 f_2 f_3$ où la somme $f_1+f_2 +f_3$ est constante.
    Est-ce que dans ce cas précis les points critiques ne seraient pas précisément les solutions de $f_1(x)=f_2(x)=f_3 (x)$ (1) ?

    edit : déjà si $x$ vérifie (1) alors $f'(x)=0$...
    si $abc$ est un produit de 3 variables positives avec $a+b+c$ constant alors le max est pris pour $a=b=c$, il faut sans doute regarder par là pour éviter de parler de dérivée.
    edit 2 : désolé je ne sais pas pourquoi le pdf est horizontal...theorem 2.6a... toujours dans le cas où les 3 fonctions sont positives
  • gebrane
    gebrane
    Bizarre, dans un Forum, on s'efforce à démontrer un truc faux https://www.ilemaths.net/sujet-cosx-cos2x-cos3x-0-51490.html : demontrer que cos(x)+cos(2x)+cos(3x)=0 ?
    Le 😄 Farceur


  • Crapul
    Crapul
    J'ai du mal à saisir le sens de ton post gebrane.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    L'exercice date d'une époque où les lycéens ne connaissaient pas les dérivées, mais la solution proposée ici me déroute.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • Crapul
    Crapul
    En gros, on veut les extrema de la fonction $f(X)= (X-a)(X-b)(X-c)$ dans notre cas (j'oublie le $\dfrac{1}{4}$ et je prend $X=cos(x)$).
    On cherche $\lambda$ et $\mu$ réels tels que pour tout $X$, $\lambda (X-a) + \mu (X-b) + (X-c)$ est une fonction constante.
    Ce n'est certainement pas toujours possible dans un cas plus général...
    On en déduit donc $\lambda + \mu +1=0$ (1).
    On s'est ramené à l'étude des extrema de la fonction $\overline{f} (X) = f_1 (X) f_2 (X) f_3 (X)$. avec $f_1 +f_2 +f_3$ constante.
    D'après ce qui est fait, les points critiques (là où il y a des extrema, points d'inflexion) seraient exactement les solutions de $f_1(X)=f_2 (X)=f_3 (X)$.
    On trouve avec ça que si $X_0$ est un point critique, on a $\lambda = \dfrac{X_0-c}{X_0 -a}$ et $\mu=\dfrac{X_0-c}{X_0 -b}$.
    En réinjectant dans (1) : $ \dfrac{X_0-c}{X_0 -a} + \dfrac{X_0-c}{X_0 -b}+1=0$.
    Remarque là que si on met tout ça sur le même dénominateur on retrouve l'équation $f'(X_0)=0$.
    Après on en déduit une équation du second degré en $X_0$.
    Voilà comment je vois la chose, mais ça fait beaucoup de spéculations.
  • Chaurien
    Chaurien
    @ Piteux_gore
    C'est toujours ton Journal de Mathématiques Élémentaires de Bourget, je suppose, quelle année ?
    Je rappelle tes excellentes recherches sur ces précieuses anciennes revues :
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,904031,904031,quote=1

    Crapul a eu bien raison de citer l'excellent livre d'Ivan Niven , Maxima and Minima without Calculus, MAA, 1981.
    « Calculus », c'est l'analyse élémentaire de L1-L2, fonctions, dérivées, intégrales des fonctions continues, etc. Ce livre offre une très riche collection de calculs d'extrémums sans dérivées, jusqu'au théorème d'Erdös-Mordell, la loi de la réfraction ou l'angle du fond des alvéoles des abeilles.

    C'est une telle méthode qu'applique ton extrait, en utilisant le principe : si trois nombres positifs ont une somme constante, leur produit est maximum quand ils sont égaux. Je dis trois parce qu'ici il y en a trois, mais on sait que c'est vrai pour $n$ nombres. C'est une variante de l'inégalité des moyennes arithmétique-géométrique, qui peut se prouver sans analyse, de plusieurs manières. Mais dans le problème posé, il n'est pas dit que les trois nombres doivent être positifs, et de plus on ne voit pas comment ce principe s'applique au minimum. Il faudrait y regarder de plus près, si l'on juge que c'est intéressant...

    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • gebrane
    gebrane
    @Crapul
    Sauf étourderie de ma part, dans le lien que j'ai donné, la question était de démontrer que cos(x)+cos(2x)+cos(3x)=0 ce qui est faux et justement ta question c'est de trouver le max et le min de x --->cos(x)+cos(2x)+cos(3x)
    Le 😄 Farceur


  • Crapul
    Crapul
    Le type a mal posé sa question, mais les intervenants ont bien compris qu'il cherchait les zéros de la fonction et non à montrer que la fonction est nulle.
  • Chaurien
    Chaurien
    @ Gebrane.
    J'ai plutôt l'impression que dans le forum que tu cites il est plutôt question de résoudre l'équation : $\cos x + \cos 2x + \cos 3x=0$.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    On cherche les extrema d’une fonction produit de trois fonctions réelles $abc$ telles que $a+b+c$ est une constante. On ne sait rien des signes de ces fonctions (et on s’en fout).

    @Crapul : tu demandes si ceci implique $a=b=c$, la réponse est non.

    Par exemple, $a=-\cos x+1, b=\cos x+1, c=3$ la fonction vaut $3\sin^2 x$ qui possède bien des minima et des maxima mais on n’a jamais $b=c.$
  • Crapul
    Crapul
    Oui, le théorème que je cite dit bien quand on peut avoir l'égalité.
  • gebrane
    gebrane
    Dans le cas positif , affirmatif http://vivienfrederic.free.fr/discussion.pdf
    Le 😄 Farceur


  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    Bonjour,

    Je pense que l'exercice suivant relève du même principe :
    trouver le maximum de f(x) = (x - a)n/xm pour x - a positif et m > n.
    Pour toute constante k on a km-nf(x) = [(x - a)/x]n.(k/x)m-n ; on choisit alors k tel que la somme des facteurs, à savoir n(x - a)/x + (m - n)k/x, soit une constante (indépendante de x).
    Cela donne k = an/(m - n) et le maximum est alors atteint quand tous les facteurs sont égaux, donc pour x = am/(m - n).

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • Bloy.noel
    Bloy.noel
    je pense qu'il y a un tas de manières de démontrer ce problème on pourrait par simple fantaisie utiliser la formule de Héron https://www.maa.org/sites/default/files/0746834212944.di020798.02p0691h.pdf (une preuve sans mots)
    Pour ton problème $f(x)=\frac{(x-a)^n}{x^m}$ je ne saurais faire assez l'éloge de la méthode des "Sweep Tangent" voir ici

    Ps: je sais que je fais un peu de hors sujet mais j'aime toujours faire de la pub pour des trucs qui me semble intéressants
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    Bonjour,

    Le livre de Justin Bourget Algèbre élémentaire (1880), disponible sur Gallica, présente la méthode sous-jacente à l'exercice donné en début de fil.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Voici une explication.

    A+70642
    Arcsinus arcsinum fricat.
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