maximum d'un produit de distances
On se donne $M_k(z_k)$ points du plan complexe ($1 \le k \le n$). Montrer qu'il existe un point $M(z)$ du cercle unité tel que le produit $P_n(z) = \prod_{k=1}^nMM_k \ge 1$.
Voici ce que l'on fait : on considère le polynôme $Q(z) = \prod_{k=1}^n(z-z_k)$. On a $P_n(z) = |Q(z)|$.
On pose $M$ le maximum de $|Q(z)|$ sur le le cercle unité ($M$ existe - fonction continue sur un compact).
On écrit $Q(z) = \sum_{i=0}^nb_iz^i$.
En utilisant les racines $p$-ème de l'unité (avec $p>n$), on arrive à montrer que tous les $|b_k| \le M$. En particulier le coefficient dominant qui vaut $b_n=1$ donne $1 \le M$. Ce qui prouve ce qu'il fallait démontrer.
On demande maintenant de prouver cela par une méthode "continue". Dans l'énoncé, ce n'est pas très clair s'il faut prouver que les coefficients de $Q$ vérifient $|b_k| \le M$ ou si c'est la question initiale qu'il faut prouver (i.e l'existence de $z$ du cercle unité tel que ...).
Avez vous des idées ?
PS: j'ai vu sur le forum qu'il y a un problème analogue à propos du rayon transfini d'un cercle (montrer que le produit $\prod_{1 \le k < l \le n}M_kM_l $ avec les $M_i$ sur le cercle unité est maximum lorsque les $M_i$ forme un polygone régulier) mais je ne pense pas qu'on puisse utiliser l'un pour résoudre l'autre.
Voici ce que l'on fait : on considère le polynôme $Q(z) = \prod_{k=1}^n(z-z_k)$. On a $P_n(z) = |Q(z)|$.
On pose $M$ le maximum de $|Q(z)|$ sur le le cercle unité ($M$ existe - fonction continue sur un compact).
On écrit $Q(z) = \sum_{i=0}^nb_iz^i$.
En utilisant les racines $p$-ème de l'unité (avec $p>n$), on arrive à montrer que tous les $|b_k| \le M$. En particulier le coefficient dominant qui vaut $b_n=1$ donne $1 \le M$. Ce qui prouve ce qu'il fallait démontrer.
On demande maintenant de prouver cela par une méthode "continue". Dans l'énoncé, ce n'est pas très clair s'il faut prouver que les coefficients de $Q$ vérifient $|b_k| \le M$ ou si c'est la question initiale qu'il faut prouver (i.e l'existence de $z$ du cercle unité tel que ...).
Avez vous des idées ?
PS: j'ai vu sur le forum qu'il y a un problème analogue à propos du rayon transfini d'un cercle (montrer que le produit $\prod_{1 \le k < l \le n}M_kM_l $ avec les $M_i$ sur le cercle unité est maximum lorsque les $M_i$ forme un polygone régulier) mais je ne pense pas qu'on puisse utiliser l'un pour résoudre l'autre.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 1
1 Invité