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maximum d'un produit de distances

Envoyé par zorg 
maximum d'un produit de distances
il y a deux semaines
On se donne $M_k(z_k)$ points du plan complexe ($1 \le k \le n$). Montrer qu'il existe un point $M(z)$ du cercle unité tel que le produit $P_n(z) = \prod_{k=1}^nMM_k \ge 1$.

Voici ce que l'on fait : on considère le polynôme $Q(z) = \prod_{k=1}^n(z-z_k)$. On a $P_n(z) = |Q(z)|$.
On pose $M$ le maximum de $|Q(z)|$ sur le le cercle unité ($M$ existe - fonction continue sur un compact).

On écrit $Q(z) = \sum_{i=0}^nb_iz^i$.
En utilisant les racines $p$-ème de l'unité (avec $p>n$), on arrive à montrer que tous les $|b_k| \le M$. En particulier le coefficient dominant qui vaut $b_n=1$ donne $1 \le M$. Ce qui prouve ce qu'il fallait démontrer.

On demande maintenant de prouver cela par une méthode "continue". Dans l'énoncé, ce n'est pas très clair s'il faut prouver que les coefficients de $Q$ vérifient $|b_k| \le M$ ou si c'est la question initiale qu'il faut prouver (i.e l'existence de $z$ du cercle unité tel que ...).

Avez vous des idées ?

PS: j'ai vu sur le forum qu'il y a un problème analogue à propos du rayon transfini d'un cercle (montrer que le produit $\prod_{1 \le k < l \le n}M_kM_l $ avec les $M_i$ sur le cercle unité est maximum lorsque les $M_i$ forme un polygone régulier) mais je ne pense pas qu'on puisse utiliser l'un pour résoudre l'autre.
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