Densité de puissances $n$-ièmes

Algoman · November 2017

Bonjour,

Je suis en train d'essayer de prouver la densité des puissances n-ieme de rationnels dans Q mais sans utiliser les racines n-ieme.
J'ai essayé par l'absurde et tout mais je me demande si c'est possible.
En tout cas, si vous avez une idée je vous remercie.

Edit: Q+* excusez moi

Magnolia · November 2017

Bonjour

Déjà si $n$ est pair, c'est clair que les puisances $n$-èmes ne forment pas une partie dense!

Algoman · November 2017

Sérieux? Ca veut dire qu'il y a des nombres qui n'ont pas de carré entre eux?

Poirot · November 2017

Avec la continuité de la fonction racine $n$-ième ça se fait très bien. Je ne vois pas pourquoi tu veux te passer de ça !

Algoman · November 2017

Parce qu'on me demande justement de définir les racines n-ieme avec des coupures de Dedekind.

Poirot · November 2017

Je ne vois vraiment pas comment tu comptes te passer de ces fonctions. Le problème est équivalent à montrer une inclusion stricte de coupures qui définissent des racines $n$-ièmes...

Shah d'Ock · November 2017

Soit $r$ rationnel positif, $\epsilon > 0$. On va trouver des entiers non nuls $p,q$ tel que $q^n \in [(r-\epsilon)p^n, (r+\epsilon)p^n]$.
Pour $p$ fixé, soit s le plus grand rationnel entier (bien sûr) tel que $s^n < (r-\epsilon)p^n$. On a $(s+1)^n=s^n+ns^{n-1}+O(s^{n-2})$. Vu que $s<p$, pour $p$ suffisament grand on a $(s+1)^n-s^n<2\epsilon p^n$ et le tour est joué.

Edit: correction lapsus.