Densité de puissances $n$-ièmes
Bonjour,
Je suis en train d'essayer de prouver la densité des puissances n-ieme de rationnels dans Q mais sans utiliser les racines n-ieme.
J'ai essayé par l'absurde et tout mais je me demande si c'est possible.
En tout cas, si vous avez une idée je vous remercie.
Edit: Q+* excusez moi
Je suis en train d'essayer de prouver la densité des puissances n-ieme de rationnels dans Q mais sans utiliser les racines n-ieme.
J'ai essayé par l'absurde et tout mais je me demande si c'est possible.
En tout cas, si vous avez une idée je vous remercie.
Edit: Q+* excusez moi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Déjà si $n$ est pair, c'est clair que les puisances $n$-èmes ne forment pas une partie dense!
Pour $p$ fixé, soit s le plus grand rationnel entier (bien sûr) tel que $s^n < (r-\epsilon)p^n$. On a $(s+1)^n=s^n+ns^{n-1}+O(s^{n-2})$. Vu que $s<p$, pour $p$ suffisament grand on a $(s+1)^n-s^n<2\epsilon p^n$ et le tour est joué.
Edit: correction lapsus.
Est-ce que $s^{n}$ peut vraiment être maximal? et aussi j'arrive pas à faire apparaître un $q^{n}$ à la fin.