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Densité de puissances $n$-ièmes

Envoyé par Algoman 
Densité de puissances $n$-ièmes
il y a deux semaines
Bonjour,

Je suis en train d'essayer de prouver la densité des puissances n-ieme de rationnels dans Q mais sans utiliser les racines n-ieme.
J'ai essayé par l'absurde et tout mais je me demande si c'est possible.
En tout cas, si vous avez une idée je vous remercie.

Edit: Q+* excusez moi



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par jacquot.
Re: Densité de puissance n-ieme
il y a deux semaines
avatar
Bonjour

Déjà si $n$ est pair, c'est clair que les puisances $n$-èmes ne forment pas une partie dense!
Re: Densité de puissance n-ieme
il y a deux semaines
Sérieux? Ca veut dire qu'il y a des nombres qui n'ont pas de carré entre eux?
Re: Densité de puissance n-ieme
il y a deux semaines
Avec la continuité de la fonction racine $n$-ième ça se fait très bien. Je ne vois pas pourquoi tu veux te passer de ça !
Re: Densité de puissance n-ieme
il y a deux semaines
Parce qu'on me demande justement de définir les racines n-ieme avec des coupures de Dedekind.
Re: Densité de puissance n-ieme
il y a deux semaines
Je ne vois vraiment pas comment tu comptes te passer de ces fonctions. Le problème est équivalent à montrer une inclusion stricte de coupures qui définissent des racines $n$-ièmes...
Re: Densité de puissance n-ieme
il y a deux semaines
avatar
Soit $r$ rationnel positif, $\epsilon > 0$. On va trouver des entiers non nuls $p,q$ tel que $q^n \in [(r-\epsilon)p^n, (r+\epsilon)p^n]$.
Pour $p$ fixé, soit s le plus grand rationnel entier (bien sûr) tel que $s^n < (r-\epsilon)p^n$. On a $(s+1)^n=s^n+ns^{n-1}+O(s^{n-2})$. Vu que $s<p$, pour $p$ suffisament grand on a $(s+1)^n-s^n<2\epsilon p^n$ et le tour est joué.

Edit: correction lapsus.

--
Objectivement, je suis subjectif.
Subjectivement, je suis objectif.
Donc objectivement, je suis objectif.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Shah d'Ock.
Re: Densité de puissance n-ieme
il y a deux semaines
Merci

Est-ce que $s^{n}$ peut vraiment être maximal? et aussi j'arrive pas à faire apparaître un $q^{n}$ à la fin.
Re: Densité de puissance n-ieme
il y a deux semaines
Ah c'est bon j'ai compris merci!
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