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Graphe de Cayley

Envoyé par Vincent 
Graphe de Cayley
il y a deux semaines
Bonjour à tous,

Une petite question, étant donné un groupe G et S une partie génératrice de G. Est-ce qu'il est possible de lire sur le graphe de Cayley associé à (G,S), les ou des sous-groupes distingués de G ou la simplicité de G ?

Merci
Re: Graphe de Cayley
il y a deux semaines
Ça me semble difficile pour la simplicité puisque les graphes de Cayley de $C_3$ et de $C_4$ sont essentiellement les mêmes.
AD
Re: Graphe de Cayley
il y a deux semaines
avatar
Bonsoir Vincent
Je crains que non ! Il est assez difficile de retrouver les sous-groupes sur un graphe de Cayley, hormis les sous-groupes engendrés par chaque générateur.
Cependant, si tu sais qu'un sous-ensemble des nœuds forme un sous-groupe, tu peux "rapidement" savoir s'il est distingué. Il n'y a qu'à composer pour chaque générateur $g$ et chaque élément $x$ de ton sous-groupe le chemin $gxg^{-1}$ en partant de $1$ et vérifier que son extrémité est dans ton sous-groupe.
J'ai placé "rapidement" entre guillemets, car bien que fini, le nombre de générateurs peut être très grand, mais surtout, ton sous-groupe doit, sauf cas particuliers, être fini pour pouvoir appliquer cette méthode dans un temps fini.
Alain
AD
Re: Graphe de Cayley
il y a deux semaines
avatar
@ Poirot
Le graphe de Cayley a autant de nœuds que le cardinal du groupe. Les graphes de Cayley de $C_3$ et $C_4$ sont donc différents.
Alain
Re: Graphe de Cayley
il y a deux semaines
Merci Poirot, mes premières réflexions m'amenaient effectivement à ce genre d'idée (cas du groupe cyclique).
Merci AD. j'avais regardé dans ton livre et le chapitre graphe de Cayley ne contenait rien sur ces questions, et pour cause...
Re: Graphe de Cayley
il y a deux semaines
@AD : oui je sais bien, je parlais au sens de la « structure » du graphe, ici un cycle.
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