Quadratique régulier
Salut à tous.
Exercice : Soit (E,q) une espace quadratique de dimension finie.
$F$ est régulier (i.e la restriction que q à F est régulière) alors $E = F \oplus F^\bot$.
Pourquoi il ne suffit-il pas de dire que :
"
Si $F$ est régulier alors $F\cap F^\bot = {0}$ et $dim(F)+dim(F^\bot) = dim(E)$
"
pour conclure ?
Exercice : Soit (E,q) une espace quadratique de dimension finie.
$F$ est régulier (i.e la restriction que q à F est régulière) alors $E = F \oplus F^\bot$.
Pourquoi il ne suffit-il pas de dire que :
"
Si $F$ est régulier alors $F\cap F^\bot = {0}$ et $dim(F)+dim(F^\bot) = dim(E)$
"
pour conclure ?
Réponses
-
Dans le contexte des formes quadratiques $E = F \oplus F^\perp$ doit vouloir dire que tout $x$ est s'écrit d'une unique façon comme $y+z, y \in F, z \in F^\perp$ et $q(x,x) = q(y,y)+q(z,z)$ ie. $q(y,z) +q(z,y)= 0$
-
Ici :
-
Bonjour CechML,
La relation $\dim(F^\perp)+\dim F = \dim E$ n'est pas vraie en général...
Il faut des hypothèses
par exemple, si $q$ est non dégénérée;
ou si $q$ est régulière sur $F$... mais c'est ce que tu veux démontrer. -
Salut.
E est régulier signifie $q$ est non dégénéré je pense. -
Attention, l'intersection de deux sous-espaces vectoriels n'est jamais vide. Ici on a $F \cap F^{\perp} = \{0\}$, pour le comprendre, regarde la définition de forme quadratique non dégénérée !
-
Salut Poirot j'ai modifié mon message car je viens de comprendre.
-
Je vais le rédiger pour être sûr.
-
Alors, en fait j'ai regardé la restriction de $q$ à F. Je pense qu'il s'agit de la forme quadratique associé à la fbs $\varphi '$ qui est la fbs associé à $q$ restreinte à $F\times F$.
Dans ce cas prenons $z\in F \cap F^\bot $ alors $\forall y \in F, \varphi'(y,z) = 0$ donc $z\in Ker(\varphi')=\{0\}$ par hypothèse.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 1
1 Invité