Quadratique régulier
Salut à tous.
Exercice : Soit (E,q) une espace quadratique de dimension finie.
$F$ est régulier (i.e la restriction que q à F est régulière) alors $E = F \oplus F^\bot$.
Pourquoi il ne suffit-il pas de dire que :
"
Si $F$ est régulier alors $F\cap F^\bot = {0}$ et $dim(F)+dim(F^\bot) = dim(E)$
"
pour conclure ?
Exercice : Soit (E,q) une espace quadratique de dimension finie.
$F$ est régulier (i.e la restriction que q à F est régulière) alors $E = F \oplus F^\bot$.
Pourquoi il ne suffit-il pas de dire que :
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Si $F$ est régulier alors $F\cap F^\bot = {0}$ et $dim(F)+dim(F^\bot) = dim(E)$
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pour conclure ?
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Réponses
La relation $\dim(F^\perp)+\dim F = \dim E$ n'est pas vraie en général...
Il faut des hypothèses
par exemple, si $q$ est non dégénérée;
ou si $q$ est régulière sur $F$... mais c'est ce que tu veux démontrer.
E est régulier signifie $q$ est non dégénéré je pense.
Dans ce cas prenons $z\in F \cap F^\bot $ alors $\forall y \in F, \varphi'(y,z) = 0$ donc $z\in Ker(\varphi')=\{0\}$ par hypothèse.