Quadratique régulier

CechLM · November 2017

Salut à tous.

Exercice : Soit (E,q) une espace quadratique de dimension finie.
$F$ est régulier (i.e la restriction que q à F est régulière) alors $E = F \oplus F^\bot$.

Pourquoi il ne suffit-il pas de dire que :
"
Si $F$ est régulier alors $F\cap F^\bot = {0}$ et $dim(F)+dim(F^\bot) = dim(E)$
"
pour conclure ?

reuns · November 2017

Dans le contexte des formes quadratiques $E = F \oplus F^\perp$ doit vouloir dire que tout $x$ est s'écrit d'une unique façon comme $y+z, y \in F, z \in F^\perp$ et $q(x,x) = q(y,y)+q(z,z)$ ie. $q(y,z) +q(z,y)= 0$

Poirot · November 2017

@CechLM : eh bien la démonstration est aussi simple que ça. Mais pour avoir $F \cap F^{\perp} = \{0\}$ il faut bien supposer $q_{\mid F}$ est "régulière" (je ne sais pas d'où tu sors cette terminologie, en général on dit plutôt non dégénérée).

CechLM · November 2017

Ici :

Vincent · November 2017

Bonjour CechML,

La relation $\dim(F^\perp)+\dim F = \dim E$ n'est pas vraie en général...

Il faut des hypothèses
par exemple, si $q$ est non dégénérée;
ou si $q$ est régulière sur $F$... mais c'est ce que tu veux démontrer.

CechLM · January 2018

Salut.

E est régulier signifie $q$ est non dégénéré je pense.

Poirot · January 2018

Attention, l'intersection de deux sous-espaces vectoriels n'est jamais vide. Ici on a $F \cap F^{\perp} = \{0\}$, pour le comprendre, regarde la définition de forme quadratique non dégénérée !

CechLM · January 2018

Salut Poirot j'ai modifié mon message car je viens de comprendre.

CechLM · January 2018

Je vais le rédiger pour être sûr.

CechLM · January 2018

Alors, en fait j'ai regardé la restriction de $q$ à F. Je pense qu'il s'agit de la forme quadratique associé à la fbs $\varphi '$ qui est la fbs associé à $q$ restreinte à $F\times F$.
Dans ce cas prenons $z\in F \cap F^\bot $ alors $\forall y \in F, \varphi'(y,z) = 0$ donc $z\in Ker(\varphi')=\{0\}$ par hypothèse.

Quadratique régulier

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 9