Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2

https://math.stackexchange.com/questions/317356/there-exists-only-two-groups-of-order-p2-up-to-isomorphism

Je dirais (ça fait longtemps que je n'ai pas fait de théorie des croupes ^^:-D)

1) Tu peux montrer que le centre d'un $p$-groupe (par l'équation aux classes en le faisant agir sur lui -même par conjugaison) est non trivial
Ainsi, tu as
-ou le centre est d'ordre $p$ et alors le groupe est abélien car le quotient du groupe par le centre est cyclique.
-Ou le centre est d'ordre $p^{2}.$

Ainsi, un groupe d'ordre $p^{2}$ est abélien (et on applique le théorème de classification des groupes abéliens finis... Blague à part!)

2) On a alors l'alternative suivante :
-ou il existe un élément d'ordre $p^{2}.$
-ou tous les éléments qui ne sont pas le neutre sont d'ordre $p$ et alors vu que le groupe est abélien, il a une structure naturelle de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ espace vectoriel... Pour des raisons de cardinal, tu as l'autre classe d'isomorphisme.

@ Shah d'Ock
Je me suis expliqué maintes fois à propos de l'anglais.
Répétons.
Je ne puis dire que « je sais l'anglais » car mon niveau dans cette langue est médiocre, et je le regrette.
J'ai constaté il y a longtemps qu'avec un tel niveau médiocre on arrive à utiliser des ouvrages mathématiques en anglais et j'ai à maintes reprises encouragé les participants à ce forum à le faire, puisque de nombreuses informations mathématiques ne sont disponibles que dans cette langue.
Par ailleurs, je suis attaché à la langue française, qui est notre patrimoine et celui de trois cents millions de francophones, et je réprouve son invasion par les anglicismes et ses déformations arbitraires. Tout est exprimable en français correct.
Another question ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.

On peut aussi raisonner arithmétiquement et généraliser : la fonction arithmétique $a(n)$ qui compte le nombre (à isomorphisme près) de groupes abéliens d'ordre $n$, est bien connue en théorie des nombres.

Soit $G$ un groupe abélien d'ordre $n = p_1^{\alpha_1} \dotsb p_k^{\alpha_k}$.

1. On commence par décomposer $G$ en $p_i$-Sylow : $G = G_1 \oplus \dotsb \oplus G_k$ avec $|G_i| = p_i^{\alpha_i}$, ce qui permet d'en déduire que $a(n) = a \left( p_1^{\alpha_1} \right) \dotsb a \left( p_k^{\alpha_k} \right)$, et donc la fonction $a$ est multiplicative.

2. Ensuite, chaque $p$-groupe abélien fini $H$ se décompose en sous-groupes cycliques d'ordre une puissance de $p$ : $H = H_1 \oplus \dotsb \oplus H_m$ pour un certain entier $m \geqslant 1$, avec $|H_i| = p^{\alpha_i}$. On voit alors apparaître la partition $\alpha = \alpha_1 + \dotsb + \alpha_m$ de $\alpha$. On en déduit que
$$a \left( p^{\alpha} \right) = P \left( \alpha \right)$$
où $P(\alpha)$ désigne le nombre de partitions de $\alpha$.

Conclusion. Si $n = p_1^{\alpha_1} \dotsb p_k^{\alpha_k}$, le nombre (à isomorphisme près) de groupes abéliens d'ordre $n$ est égal à
$$a(n) = P \left( \alpha_1 \right) \dotsb P \left( \alpha_k \right)$$
où $P(\alpha)$ désigne le nombre de partitions de $\alpha$. De plus, la fonction génératrice de la fonction $P$ permet d'obtenir la série de Dirichlet de la fonction $a$.

Soit $p$ un nombre premier, $(G,+)$ un groupe abélien de cardinal $p^2$, $A$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans lui-même qui s'avère être un anneau lorsqu'on le munit des opérations évidentes $(f,g) \in A^2 \mapsto f+g: x\mapsto f(x)+g(x)$ et $(f,g)\in A^2 \mapsto fg: x \mapsto f\big( g(x)\big)$.

Pour tput $x\in G$, l'ordre de $x$ divise $p^2$ donc vaut $1,p$ ou $p^2$.
Si pour tout $x\in G$, $px=0$ alors $A$ est de caractéristique $p$, $\mathbf F_p$ s'injecte dans $A$ et donc $G$ est un $\mathbf F_p$-espace vectoriel isomorphe à $\mathbf F_p^2$. Sinon, il existe $y\in G$ tel que $py\neq 0$ et alors $<y>=G$ donc $G$ est cyclique.

Marwanus a écrit:

En utilisant la formule de @noix de totos@ sur les partitions de $n=3$, je trouve que $P(3)=3$ alors que @BobbyJoe tu penses qu'il y a 5 classes d'isomorphisme, je me trompe ?

Noix de totos parle de groupes abéliens, comme tu l'avais spécifié dans ton message initial, alors que BobbyJoe parle de groupes pas nécessairement abéliens.
Tous deux ont raison, il y a 3 groupes abéliens d'ordre $p^3$ :
$\triangleright~$le cyclique $\mathbb Z/p^3\mathbb Z$,
$\triangleright~$le produit direct $\mathbb Z/p^2\mathbb Z\times \mathbb Z/p\mathbb Z$,
$\triangleright~$l'espace vectoriel de dimension 3 sur le corps $\mathbb Z/p\mathbb Z$ : $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^3$, aussi appelé le $p$-abélien élémentaire ;
et 2 groupes non abéliens d'ordre $p^3$ :
$\triangleright~$l'un est le produit semi-direct $ C_{p^2}\rtimes_u C_p$, où $u_b=(a\mapsto a^{p+1})$, avec $a$, resp. $b$, un générateur de $C_{p^2}$ resp. $C_p$,
$\triangleright~$l'autre est celui que je t'ai indiqué ci-dessus si $p\neq 2$, ou le groupe des quaternions d'ordre $8=2^3$ si $p=2$.

Alain