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Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2

Envoyé par marwanus 
Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
Bonjour,

Avec $p$ un nombre premier,
Je cherche à déterminer le nombre de groupes abéliens d'ordre $p^2$ à isomorphisme près.

Je pense qu'il y en a deux: $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Ma démarche est la suivante.

Soit $G$ un groupe avec $|G| = p^2$.
Soit $ g\in G$ avec $g \neq 0 $
$o(g) \mid \ card(G) $donc $o(g)=p$ ou $ o(g)=p^2$
Si $o(g)=p^2$:
alors $G=<g>$ qui est cyclique donc isomorphe à $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$

Si $o(g)=p$, je bloque, je n'arrive pas à montrer l'isomorphisme entre $G$ et $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et je ne suis pas sûr que cela soit juste.

Je vous remercie pour votre aide !



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de la semaine derni&egrave;re et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
avatar
Ah tiens Chaurien, pourquoi as-tu donc besoin de sous-titres si tu sais l'anglais?

--
Objectivement, je suis subjectif.
Subjectivement, je suis objectif.
Donc objectivement, je suis objectif.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
Car c'est un fervent défenseur de la langue française :)

Merci @Chaurien, justement j'avais essayé de démontrer cela avec le résultat de l'isomorphisme au produit de sous-groupes distingués mais je n'arrivais pas à montrer que $G \subset (<a>+<b>)$ avec $<a>$ et $<b>$ des groupes d'ordre $p$

Je vais lire le post stack en détail, merci!
AD
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
avatar
Bonjour Marwanus
Ta démonstration commence bien, mais elle manque de quantification.

Tu peux utiliser la disjonction :
Soit il existe $g\in G$ tel que $o(g)=p^2$ alors ... (ta démo)
Soit tous les éléments de $G$ sont d'ordre $p$ ou $1$ alors ... (par exemple $G$ a une structure d'espace vectoriel sur le corps $\Z/p\Z$)

Alain
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
Je dirais (ça fait longtemps que je n'ai pas fait de théorie des croupes ^^grinning smiley)

1) Tu peux montrer que le centre d'un $p$-groupe (par l'équation aux classes en le faisant agir sur lui -même par conjugaison) est non trivial
Ainsi, tu as
-ou le centre est d'ordre $p$ et alors le groupe est abélien car le quotient du groupe par le centre est cyclique.
-Ou le centre est d'ordre $p^{2}.$

Ainsi, un groupe d'ordre $p^{2}$ est abélien (et on applique le théorème de classification des groupes abéliens finis... Blague à part!)

2) On a alors l'alternative suivante :
-ou il existe un élément d'ordre $p^{2}.$
-ou tous les éléments qui ne sont pas le neutre sont d'ordre $p$ et alors vu que le groupe est abélien, il a une structure naturelle de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ espace vectoriel... Pour des raisons de cardinal, tu as l'autre classe d'isomorphisme.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
avatar
Bonjour Marwanus
Tu peux utiliser le centre (a savoir le centre d'un $p$ groupe n'est pas réduit à l'élément neutre )
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
@ Shah d'Ock
Je me suis expliqué maintes fois à propos de l'anglais.
Répétons.
Je ne puis dire que « je sais l'anglais » car mon niveau dans cette langue est médiocre, et je le regrette.
J'ai constaté il y a longtemps qu'avec un tel niveau médiocre on arrive à utiliser des ouvrages mathématiques en anglais et j'ai à maintes reprises encouragé les participants à ce forum à le faire, puisque de nombreuses informations mathématiques ne sont disponibles que dans cette langue.
Par ailleurs, je suis attaché à la langue française, qui est notre patrimoine et celui de trois cents millions de francophones, et je réprouve son invasion par les anglicismes et ses déformations arbitraires. Tout est exprimable en français correct.
Another question ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
avatar
Oui mais là il ne s'agissait pas d'un anglicisme, mais d'une citation dans sa langue originale.

--
Objectivement, je suis subjectif.
Subjectivement, je suis objectif.
Donc objectivement, je suis objectif.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
@AD, en effet c'est beaucoup plus clair avec les quantificateurs.

@AD, @BobbyJoe : Si je pars sur la démonstration élémentaire, (sans utiliser le centre d'un p-groupe), comment puis-je démontrer rigoureusement que :
G à une structure d'espace vectoriel sur le corps $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \Rightarrow G\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

@yassinyassin100 : Je regarderai aussi cette solution dès que j'aurai compris la solution élémentaire

Merci beaucoup à tous
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
@marwanus : Pour des raisons de cardinalité, c'est la seule possibilité. Il s'agit d'un $\mathbb Z/p \mathbb Z$-espace vectoriel de dimension finie (puisqu'il est fini). Donc on peut en donner une base (algorithmiquement, tu prends un élément non nul, s'il engendre tout, c'est bon, sinon on en prend un autre linéairement indépendant etc.). Cette base est forcément de taille $2$ puisque ton groupe est d'ordre $p^2$ et c'est fini !



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de la semaine derni&egrave;re et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Poirot.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
On peut aussi raisonner arithmétiquement et généraliser : la fonction arithmétique $a(n)$ qui compte le nombre (à isomorphisme près) de groupes abéliens d'ordre $n$, est bien connue en théorie des nombres.

Soit $G$ un groupe abélien d'ordre $n = p_1^{\alpha_1} \dotsb p_k^{\alpha_k}$.

1. On commence par décomposer $G$ en $p_i$-Sylow : $G = G_1 \oplus \dotsb \oplus G_k$ avec $|G_i| = p_i^{\alpha_i}$, ce qui permet d'en déduire que $a(n) = a \left( p_1^{\alpha_1} \right) \dotsb a \left( p_k^{\alpha_k} \right)$, et donc la fonction $a$ est multiplicative.

2. Ensuite, chaque $p$-groupe abélien fini $H$ se décompose en sous-groupes cycliques d'ordre une puissance de $p$ : $H = H_1 \oplus \dotsb \oplus H_m$ pour un certain entier $m \geqslant 1$, avec $|H_i| = p^{\alpha_i}$. On voit alors apparaître la partition $\alpha = \alpha_1 + \dotsb + \alpha_m$ de $\alpha$. On en déduit que
$$a \left( p^{\alpha} \right) = P \left( \alpha \right)$$
où $P(\alpha)$ désigne le nombre de partitions de $\alpha$.

Conclusion. Si $n = p_1^{\alpha_1} \dotsb p_k^{\alpha_k}$, le nombre (à isomorphisme près) de groupes abéliens d'ordre $n$ est égal à
$$a(n) = P \left( \alpha_1 \right) \dotsb P \left( \alpha_k \right)$$
où $P(\alpha)$ désigne le nombre de partitions de $\alpha$. De plus, la fonction génératrice de la fonction $P$ permet d'obtenir la série de Dirichlet de la fonction $a$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par noix de totos.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
Ton groupe $G$ est vu comme un ensemble de vecteurs (mais il me semble qu'il faut au préalable montrer que $G$ est commutatif pour avoir chaque axiome d'un ev) sur lequel le corps $\mathbb{Z}_{p}$ "agit" via la LCE : $x.a=x^{a}.$
Après, tu peux t'attaquer à classifier les $p$-groupes d'ordre $p^3.$ (il y a $5$ classes d'isomorphismes : $3$ groupes abéliens et deux sous-groupes de matrices), commence par le cas $p=2.$



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de la semaine derni&egrave;re et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par BobbyJoe.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
Soit $p$ un nombre premier, $(G,+)$ un groupe abélien de cardinal $p^2$, $A$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans lui-même qui s'avère être un anneau lorsqu'on le munit des opérations évidentes $(f,g) \in A^2 \mapsto f+g: x\mapsto f(x)+g(x)$ et $(f,g)\in A^2 \mapsto fg: x \mapsto f\big( g(x)\big)$.

Pour tput $x\in G$, l'ordre de $x$ divise $p^2$ donc vaut $1,p$ ou $p^2$.
Si pour tout $x\in G$, $px=0$ alors $A$ est de caractéristique $p$, $\mathbf F_p$ s'injecte dans $A$ et donc $G$ est un $\mathbf F_p$-espace vectoriel isomorphe à $\mathbf F_p^2$. Sinon, il existe $y\in G$ tel que $py\neq 0$ et alors $<y>=G$ donc $G$ est cyclique.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
la semaine dernière
avatar
On peut utiliser le théorème de Cauchy.

si $p$ premier divise l'ordre d'un groupe $G$ alors il existe un élément $x$ de $G$ d'ordre $p$.

Si on considère le complémentaire du sous-groupe $<x>$ engendré par $x$ (ce complémentaire est non vide l'ordre de <x> est $p-1$ qui est un entier strictement plus petit que $p^2$)
Les éléments sont soient d'ordre $p$ ou $p^2$

S'il y a un élément d'ordre $p^2$ c'est fini, le groupe est isomorphe à $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$.
Autrement cela veut dire que tous les éléments de ce complémentaire sont d'ordre $p$.
On prend un élément $y$ de ce complémentaire d'ordre $p$ cet élément est distinct de $x$ par définition.
Maintenant si on considère le sous-groupe engendré par les éléments $x^ny^m$ , $m,n$ entiers naturels,de G.
Sauf erreur, ce sous-groupe de $G$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et il est donc d'ordre $p^2$.
S'il est d'ordre $p^2$ c'est $G$ lui-même et donc $G$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

(je considère que $G$ est abélien est une hypothèse de la question)

J'espère qu'il n'y a pas d'erreur et que je n'ai pas fait un duplicata d'une preuve donnée ci-dessus.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de la semaine derni&egrave;re et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
il y a treize jours
Merci à tous pour ces méthodes variées et efficaces.
Je n'ai certainement pas tout saisi mais j'y travaille!

Par ailleurs, je m'intéresse à ce que donnerait la généralisation à $G$ avec $card (G) = p^n, n\in \mathbb{N}^*$

En utilisant la formule de @noix de totos@ sur les partitions de $n=3$ , je trouve que $P(3) = 3$ alors que @BobbyJoe tu penses qu'il y a 5 classes d'isomorphisme, je me trompe ? :

3=1+1+1
3=2+1
3=3

Merci beaucoup!



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par marwanus.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
il y a treize jours
avatar
Il faut savoir si on parle de groupes commutatifs ou pas.

Dans ta question initiale on peut supprimer le mot abélien, cela ne change rien au résultat.
Je ne sais pas/plus si cela change quelque chose si on considère des groupes d'ordre $p^3,p^4,...$

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
il y a treize jours
@Fin de partie: Merci! il semblerait que tout groupe d'ordre p^2 est abélien, donc cela ne change rien en effet.
AD
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
il y a treize jours
avatar
Bonsoir Marwanus
L'hypothèse initiale indiquait $G$ groupe abélien. Ce qui est le fait de tout groupe d'ordre $p^2$, $p$ premier.

En faisant abstraction de cette hypothèse, certains intervenants t'ont suggéré de considérer le centre de $G$ qui ne peut être trivial ($G$ est un $p$-groupe) et dont le quotient ne peut être cyclique non trivial (exercice).

Si l'on veut généraliser, on montre facilement que si $p=2$, tout groupe (fini ou non) dont tous les éléments, hors le neutre, sont d'ordre 2 est abélien (exercice écrire que $(ab)^2=1$ et composer par $a$ à gauche et $b$ à droite). Un tel groupe admet donc une structure d'espace vectoriel sur $\mathbb Z/2\mathbb Z$.

Si $p\neq 2$, un groupe d'ordre $p^k,\ k\geq 3$ dont tous les éléments, hors le neutre, sont d'ordre $p$ n'est pas nécessairement abélien. Un exemple célèbre est le groupe des matrices $3\times 3$ sur le corps $\mathbb Z/p\mathbb Z$, triangulaires supérieures à diagonale formée de 1. Ce groupe est d'ordre $p^3$, tous ses éléments satisfont $M^3=I$ et pourtant il n'est pas commutatif ($AB\neq BA$ pour $A=\left(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{smallmatrix}\right)$ et $B=\left(\begin{smallmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}\right)$).
Alain
AD
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
il y a treize jours
avatar
Citation
Marwanus
En utilisant la formule de @noix de totos@ sur les partitions de $n=3$, je trouve que $P(3)=3$ alors que @BobbyJoe tu penses qu'il y a 5 classes d'isomorphisme, je me trompe ?

Noix de totos parle de groupes abéliens, comme tu l'avais spécifié dans ton message initial, alors que BobbyJoe parle de groupes pas nécessairement abéliens.
Tous deux ont raison, il y a 3 groupes abéliens d'ordre $p^3$ :
$\triangleright~$le cyclique $\mathbb Z/p^3\mathbb Z$,
$\triangleright~$le produit direct $\mathbb Z/p^2\mathbb Z\times \mathbb Z/p\mathbb Z$,
$\triangleright~$l'espace vectoriel de dimension 3 sur le corps $\mathbb Z/p\mathbb Z$ : $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^3$, aussi appelé le $p$-abélien élémentaire ;
et 2 groupes non abéliens d'ordre $p^3$ :
$\triangleright~$l'un est le produit semi-direct $ C_{p^2}\rtimes_u C_p$, où $u_b=(a\mapsto a^{p+1})$, avec $a$, resp. $b$, un générateur de $C_{p^2}$ resp. $C_p$,
$\triangleright~$l'autre est celui que je t'ai indiqué ci-dessus si $p\neq 2$, ou le groupe des quaternions d'ordre $8=2^3$ si $p=2$.

Alain
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
il y a treize jours
Oui, comme le dit Alain, j'ai respecté la demande initiale de compter, à isomorphisme près, le nombre de groupes abéliens d'ordre fixé.

Si l'on supprime l'hypothèse "abélien", le cas général est alors plus délicat à traiter que dans le cas commutatif. À ma connaissance, le mieux dont on dispose est l'estimation asymptotique suivante : si $g(n)$ désigne le nombre de (classes d'isomorphismes) de groupes d'ordre $n$, alors
$$g \left(p^\alpha \right) = p^{2 \alpha^3/27 + O \left( \alpha^{8/3} \right)}$$
si $n = p^\alpha$, et
$$g(n) \leqslant n^{\left( 2/27 + o(1) \right)m^2}$$
dans le cas général, où $m$ désigne la plus grande des valuations $p$-adiques de $n$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par noix de totos.
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
il y a onze jours
Merci @Alain et @noix de totos et à tous pour votre aide.
J'ai mis du temps à comprendre, mais c'est plus clair.

Bonne journée!
Re: Nombre de groupes abéliens de cardinal p^2
il y a onze jours
De rien ! Bonne continuation.
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