Qu'est-ce qu'un endomorphisme cyclique ?
Bonjour.
Voici une définition.
Un endomorphisme $f$ d'un espace vectoriel $E$ est cyclique s'il existe $u \in E$ tel que les $f^n(u)$, $n \in \mathbb N$, engendrent $E$.
On trouve aussi dans certains énoncés une autre définition avec plus d'exigences comme la suivante.
Il existe $u \in E$ et $p \in \mathbb N^*$ tel que : ${f}^{~p}(u)=u$ ;
la famille $(u,f(u),{f}^{~2}(u),\ldots ,{f}^{~p-1}(u))$ est constituée de vecteurs distincts ;
la famille $(u,f(u),{f}^{~2}(u),\ldots ,{f}^{~p-1}(u))$ est génératrice de $E$.
Pourquoi ce flottement ? Moi j'ai tendance à préférer la première définition, et vous qu'en pensez-vous ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
Voici une définition.
Un endomorphisme $f$ d'un espace vectoriel $E$ est cyclique s'il existe $u \in E$ tel que les $f^n(u)$, $n \in \mathbb N$, engendrent $E$.
On trouve aussi dans certains énoncés une autre définition avec plus d'exigences comme la suivante.
Il existe $u \in E$ et $p \in \mathbb N^*$ tel que : ${f}^{~p}(u)=u$ ;
la famille $(u,f(u),{f}^{~2}(u),\ldots ,{f}^{~p-1}(u))$ est constituée de vecteurs distincts ;
la famille $(u,f(u),{f}^{~2}(u),\ldots ,{f}^{~p-1}(u))$ est génératrice de $E$.
Pourquoi ce flottement ? Moi j'ai tendance à préférer la première définition, et vous qu'en pensez-vous ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
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Réponses
Les autres définitions ne se trouvent pas, je pense, dans les ouvrages d'algèbres et sont plutôt des inventions personnelles d'auteurs d'énoncés.
Préparant quelque chose pour Math-Spé, je ne puis évoquer les modules, et je vais retenir la première définition que j'ai citée, que j'avais donc raison de trouver préférable, et qui est d'une belle concision.
Mais alors, qu'est-ce qui leur prend, à ceux qui imposent des définitions inutilement tarabiscotées ?
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,423668,423685
Bonne journée.
Fr. Ch.
i) il existe $u$ tel que $\left\{f^n(u) \mid n\in \mathbb N\right\}$ engendre $E$ ;
ii) il existe $u$ tel que $(u,f(u),f^2(u),\ldots,f^{(p-1)}(u))$ est une base de $E$ ;
Soit $u\in E$. Il y a équivalence entre
(i) $\mathrm{Vect}(\{f^k(u)\mid n\in \N\})=E$,
(ii) $(u,f(u),\ldots,f^{p-1}(u))$ est une base de $E$.
L'implication (ii) $\implies$ (i) est évidente.
Soit $n$ le plus grand entier naturel tel que la famille des $f^k(u)$ pour $k\in \N$, $k<n$, soit libre (il existe puisque $(u,f(u),\ldots,f^p(u))$ est liée). Alors $f^n(u)$ est combinaison linéaire de $(u,f(u),\ldots,f^{n-1}(u))$ et par récurrence tous les $f^k(u)$ pour $k\geq n$ sont des combinaisons linéaires de $(u,f(u),\ldots,f^{n-1}(u))$. Si (i) est vérifié, ceci montre que $(u,f(u),\ldots,f^{n-1}(u))$ est une famille génératrice de $E$. Comme c'est une famille libre, c'est une base de $E$, et par conséquent $n=p$.