Qu'est-ce qu'un endomorphisme cyclique ?

L'acception usuelle d' "endomorphisme cyclique" en mathématiques est la première que tu cites. Il y a pas mal de caractérisations équivalentes, et une des plus intéressantes est : le $k[X]$-module canoniquement associé à l'endomorphisme $f$ est cyclique, c.-à-d. engendré par un élément.

Les autres définitions ne se trouvent pas, je pense, dans les ouvrages d'algèbres et sont plutôt des inventions personnelles d'auteurs d'énoncés.

$f$ étant un endomorphisme d'un e.v. $E$ de dimension $p$, les deux assertions suivantes sont-elles équivalentes ?

i) il existe $u$ tel que $\left\{f^n(u) \mid n\in \mathbb N\right\}$ engendre $E$ ;
ii) il existe $u$ tel que $(u,f(u),f^2(u),\ldots,f^{(p-1)}(u))$ est une base de $E$ ;

@Sinusix : voyons ça de manière plus terre à terre. On montre en fait la chose suivante.

Soit $u\in E$. Il y a équivalence entre
(i) $\mathrm{Vect}(\{f^k(u)\mid n\in \N\})=E$,
(ii) $(u,f(u),\ldots,f^{p-1}(u))$ est une base de $E$.

L'implication (ii) $\implies$ (i) est évidente.

Soit $n$ le plus grand entier naturel tel que la famille des $f^k(u)$ pour $k\in \N$, $k<n$, soit libre (il existe puisque $(u,f(u),\ldots,f^p(u))$ est liée). Alors $f^n(u)$ est combinaison linéaire de $(u,f(u),\ldots,f^{n-1}(u))$ et par récurrence tous les $f^k(u)$ pour $k\geq n$ sont des combinaisons linéaires de $(u,f(u),\ldots,f^{n-1}(u))$. Si (i) est vérifié, ceci montre que $(u,f(u),\ldots,f^{n-1}(u))$ est une famille génératrice de $E$. Comme c'est une famille libre, c'est une base de $E$, et par conséquent $n=p$.