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Qu'est-ce qu'un endomorphisme cyclique ?

Envoyé par Chaurien 
Qu'est-ce qu'un endomorphisme cyclique ?
il y a deux semaines
Bonjour.

Voici une définition.
Un endomorphisme $f$ d'un espace vectoriel $E$ est cyclique s'il existe $u \in E$ tel que les $f^n(u)$, $n \in \mathbb N$, engendrent $E$.

On trouve aussi dans certains énoncés une autre définition avec plus d'exigences comme la suivante.
Il existe $u \in E$ et $p \in \mathbb N^*$ tel que : ${f}^{~p}(u)=u$ ;
la famille $(u,f(u),{f}^{~2}(u),\ldots ,{f}^{~p-1}(u))$ est constituée de vecteurs distincts ;
la famille $(u,f(u),{f}^{~2}(u),\ldots ,{f}^{~p-1}(u))$ est génératrice de $E$.

Pourquoi ce flottement ? Moi j'ai tendance à préférer la première définition, et vous qu'en pensez-vous ?

Bonne journée.
Fr. Ch.
Re: Qu'est-ce qu'un endomorphisme cyclique ?
il y a deux semaines
L'acception usuelle d' "endomorphisme cyclique" en mathématiques est la première que tu cites. Il y a pas mal de caractérisations équivalentes, et une des plus intéressantes est : le $k[X]$-module canoniquement associé à l'endomorphisme $f$ est cyclique, c.-à-d. engendré par un élément.

Les autres définitions ne se trouvent pas, je pense, dans les ouvrages d'algèbres et sont plutôt des inventions personnelles d'auteurs d'énoncés.
Re: Qu'est-ce qu'un endomorphisme cyclique ?
il y a deux semaines
Merci GaBuZoMeu, je pressentais quelque chose comme ça.
Préparant quelque chose pour Math-Spé, je ne puis évoquer les modules, et je vais retenir la première définition que j'ai citée, que j'avais donc raison de trouver préférable, et qui est d'une belle concision.
Mais alors, qu'est-ce qui leur prend, à ceux qui imposent des définitions inutilement tarabiscotées ?
[www.les-mathematiques.net]

Bonne journée.
Fr. Ch.
Re: Qu'est-ce qu'un endomorphisme cyclique ?
il y a deux semaines
$f$ étant un endomorphisme d'un e.v. $E$ de dimension $p$, les deux assertions suivantes sont-elles équivalentes ?

i) il existe $u$ tel que $\left\{f^n(u) \mid n\in \mathbb N\right\}$ engendre $E$ ;
ii) il existe $u$ tel que $(u,f(u),f^2(u),\ldots,f^{(p-1)}(u))$ est une base de $E$ ;



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par AD.
Re: Qu'est-ce qu'un endomorphisme cyclique ?
il y a deux semaines
Oui. On prend le morphisme $K[X] \to E$ donné par $u$, ça donne un quotient de $K[X]$, et une base d'un tel quotient est toujours donnée par $1,X,\dots,X^k$ pour un certain $k$ (soit jusqu'à l'infini).



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par Champ-Pot-Lion.
Re: Qu'est-ce qu'un endomorphisme cyclique ?
il y a deux semaines
@Sinusix : voyons ça de manière plus terre à terre. On montre en fait la chose suivante.

Soit $u\in E$. Il y a équivalence entre
(i) $\mathrm{Vect}(\{f^k(u)\mid n\in \N\})=E$,
(ii) $(u,f(u),\ldots,f^{p-1}(u))$ est une base de $E$.


L'implication (ii) $\implies$ (i) est évidente.

Soit $n$ le plus grand entier naturel tel que la famille des $f^k(u)$ pour $k\in \N$, $k<n$, soit libre (il existe puisque $(u,f(u),\ldots,f^p(u))$ est liée). Alors $f^n(u)$ est combinaison linéaire de $(u,f(u),\ldots,f^{n-1}(u))$ et par récurrence tous les $f^k(u)$ pour $k\geq n$ sont des combinaisons linéaires de $(u,f(u),\ldots,f^{n-1}(u))$. Si (i) est vérifié, ceci montre que $(u,f(u),\ldots,f^{n-1}(u))$ est une famille génératrice de $E$. Comme c'est une famille libre, c'est une base de $E$, et par conséquent $n=p$.
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