Recherche d'une base

Bonjour à tous,

On considère dans $\mathbb{R}^{4}$ l'ensemble $E$ des vecteurs $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ vérifiant $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0$.

J'ai montré que $E$ est un sev de $\mathbb{R}^{4}$.

Je dois alors en déterminer une base, comment s'y prendre ? Je ne vois pas, si ce n'est en prenant par tâtonnements 3 ou 4 vecteurs linéairement indépendants. D'ailleurs, comment deviner la dimension de E ?

Merci d'avance de votre aide :)



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.

Oui, il faut trouver des vecteurs linéairement indépendants et engendrant $E$.
Par exemple $f_1=(1,-1,0,0)$.
etc...

Puisque $x_4=-x_1-x_2-x_3$ tu peux ecrire

$E=\{x_1(1,0,0,-1)+x_2(0,1,0,-1)+x_3(0,0,1,-1), x_1,x_2,x_3 \in\R \}$

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Pour ce qui est de la "divination" : si tu appelles $f$ la forme linéaire $(x,y,z,t) \mapsto x+y+z+t$ et que tu appliques la formule du rang, tu verras vite que $dim (E)=3$.
En gros, si dans un espace de dimension $n$ (ici 4), un sous-espace est caractérisé par $p$ relations linéaires indépendantes (ici 1), la dimension du sous-espace sera $n-p$ (ici 3).

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