corps séparablement clos

idem
idem
dans Algèbre
Bonjour,

Je suis tombé sur cette définition dans mon cours qui me laisse quelque peu perplexe : "Un corps k est dit séparablement clos si tout polynôme irréductible séparable de k[X] est scindé."

Soit je suis à côté de la plaque ou soit il y a un problème d'envergure :
Si un polynôme irréductible est scindé, il n'est plus irréductible... Sauf bien sûr si c'est un polynôme de degré 1. Dans ce cas cette définition sous-entend peut être que pour un tel corps k, les polynômes irréductibles de k[X] sont tous de degré 1.
Mais dans ce cas, pour f un tel polynôme, on a f' divise f et f n'est donc pas séparable...

S'agirait-il d'une simple erreur? Les définitions des corps séparablements clos se font rare sur internet...

Merci

Réponses

  • killersmile38
    killersmile38
    Yo!

    Il faut comprendre "scindé sur une clôture algébrique de $K$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    @idem : C'est une erreur de ta part. Un polynôme du premier degré est toujours séparable, car il a une unique racine dans le corps et en cette racine, le polynôme dérivé est non nul.

    @killersmile : non bien sûr, il ne faut pas comprendre cela.
  • killersmile38
    killersmile38
    Oui, effectivement. ça m'apprendra à lire une phrase jusqu'au bout...
  • idem
    idem
    Donc cette définition sous-entend bien que pour un tel corps k, les polynômes irréductibles de k[X] non constant sont tous de degré 1?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Non, encore une erreur de ta part. Elle dit que les polynômes irréductibles séparables sont tous de degré $1$.
  • idem
    idem
    Oui, c'est ce que je voulais dire. Je trouve juste que la définition porte un peu à confusion. Pourquoi ne pas plus simplement directement dire que tous polynômes irréductibles séparables de k[X] sont de degré 1? Irréductible et à la fois scindé dans la même phrase ne fait pas bon ménage à mon sens.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    idem écrivait:
    > Oui, c'est ce que je voulais dire.
    ... mais ce n'est n'est pas ce que tu as écrit (par deux fois).

    Toujours est-il que la définition donnée est correcte. On peut aussi dire qu'un corps $k$ est séparablement clos si toute extension finie séparable de $k$ est triviale.
  • idem
    idem
    Donc cette définition sous-entend bien que pour un tel corps k, les polynômes irréductibles SEPARABLES de k[X] non constant sont tous de degré 1?


    mieux non?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Oui, c'est ce que j'ai écrit, sauf qu'il est inutile d'ajouter "non constant" (un polynôme constant est nul ou inversible, certainement pas irréductible).
  • idem
    idem
    Et saurais tu comment prouver que "On peut aussi dire qu'un corps k est séparablement clos si toute extension finie séparable de k est triviale?" à partir de la première définition?
  • Poirot
    Poirot
    C'est évident par le théorème de l'élément primitif. Une extension finie séparable est toujours le corps de rupture d'un polynôme irréductible séparable, donc si tout polynôme irréductible séparable est scindé, l'extension est triviale. Réciproquement, tout polynôme irréductible séparable est scindé (a toute ses racines dans $k$) si son corps de rupture est toujours trivial.
  • idem
    idem
    merci pour ta réponse poirot.
    Peux tu me confirmer que tu veux bien dire corps de rupture et non corps de décomposition? Merci
  • Poirot
    Poirot
    C'est ce que j'ai écrit non ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    C'est bien le corps de rupture. Le théorème de l'élément primitif te dit que toute extension finie séparable de $k$ est monogène, engendrée par un "élément primitif" $\alpha$. Le polynôme minimal de $\alpha$ sur $k$ est un polynôme irréductible séparable, et $k(\alpha)$ est le corps de rupture de ce polynôme. Réciproquement, si $P$ est irréductible séparable, $k[X]/P$ (le corps de rupture de $P$) est une extension finie séparable de $k$.
  • idem
    idem
    merci beaucoup à vous deux
  • idem
    idem
    vous ne saurez pas par hasard comment marche la décomposition de module de torsion en produit de localisation par idéaux maximaux pendant qu'on y est?
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