corps séparablement clos
Bonjour,
Je suis tombé sur cette définition dans mon cours qui me laisse quelque peu perplexe : "Un corps k est dit séparablement clos si tout polynôme irréductible séparable de k[X] est scindé."
Soit je suis à côté de la plaque ou soit il y a un problème d'envergure :
Si un polynôme irréductible est scindé, il n'est plus irréductible... Sauf bien sûr si c'est un polynôme de degré 1. Dans ce cas cette définition sous-entend peut être que pour un tel corps k, les polynômes irréductibles de k[X] sont tous de degré 1.
Mais dans ce cas, pour f un tel polynôme, on a f' divise f et f n'est donc pas séparable...
S'agirait-il d'une simple erreur? Les définitions des corps séparablements clos se font rare sur internet...
Merci
Je suis tombé sur cette définition dans mon cours qui me laisse quelque peu perplexe : "Un corps k est dit séparablement clos si tout polynôme irréductible séparable de k[X] est scindé."
Soit je suis à côté de la plaque ou soit il y a un problème d'envergure :
Si un polynôme irréductible est scindé, il n'est plus irréductible... Sauf bien sûr si c'est un polynôme de degré 1. Dans ce cas cette définition sous-entend peut être que pour un tel corps k, les polynômes irréductibles de k[X] sont tous de degré 1.
Mais dans ce cas, pour f un tel polynôme, on a f' divise f et f n'est donc pas séparable...
S'agirait-il d'une simple erreur? Les définitions des corps séparablements clos se font rare sur internet...
Merci
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Réponses
Il faut comprendre "scindé sur une clôture algébrique de $K$.
@killersmile : non bien sûr, il ne faut pas comprendre cela.
> Oui, c'est ce que je voulais dire.
... mais ce n'est n'est pas ce que tu as écrit (par deux fois).
Toujours est-il que la définition donnée est correcte. On peut aussi dire qu'un corps $k$ est séparablement clos si toute extension finie séparable de $k$ est triviale.
mieux non?
Peux tu me confirmer que tu veux bien dire corps de rupture et non corps de décomposition? Merci