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Problèmes d'horloge

Envoyé par Chaurien 
Problèmes d'horloge
il y a dix jours
Ayant vu passer un fil
[www.les-mathematiques.net]
consacré à des horloges mathématiques, ceci m'a remis en mémoire les petits problèmes qu'on peut poser avec une brave horloge habituelle, ou une montre à l'ancienne, avec des aiguilles.

Si l'on ne considère que la grande et la petite aiguille, on peut demander à quelles heures ces aiguilles sont superposées, à quelles heures elles sont dans le prolongement l'une de l'autre, à quelles heures elles sont perpendiculaires ou forment un angle de 60° ou tout autre angle prescrit, et combien de fois ceci se produit entre midi et minuit.
Ou bien : à quelles heures ces aiguilles sont-elles symétriques par rapport à l'axe vertical qui joint l'heure 12 et l'heure 6 ?
Ou bien : à quelles heures ces aiguilles pourraient-elles être interverties ?
Et ainsi de suite...

Et si l'on ajoute la trotteuse, il y a encore d'autres questions, que vous pourrez poser et résoudre.

On pourrait rassembler dans ce fil toutes ces questions et leurs solutions, et les références aux auteurs qui en ont parlé, chacun à sa manière, Sam Loyd, Berloquin, ou autres.

Ce ne sont que quelques petits problèmes, qu'on pourrait poser en classe pour en égayer l'ordinaire, je ne sais au juste en quelle classe en 2017.

J'ai mis ce message en Algèbre parce qu'il n'y a pas de forum « récréations mathématiques », mais qu'on le déplace si nécessaire.

Bonne journée.
Fr. Ch.
Re: Problèmes d'horloge
il y a dix jours
Ou bien : à quelles heures ces aiguilles sont-elles symétriques par rapport à l'axe vertical qui joint l'heure 12 et l'heure 6 ?

Jamais vu qu'elles n'ont pas la même taille hot smiley

Ok je sors.
Re: Problèmes d'horloge
il y a dix jours
avatar
Une pendule met 30 s pour sonner les 6 coups de 6h. Combien met-elle pour les 12 coups de midi ?
Re: Problèmes d'horloge
il y a dix jours
avatar
55 s
(nostalgie des pb de piquets et d'intervalles ?)
[correction : 66 s]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix jours et a été effectuée par Félix.
Re: Problèmes d'horloge
il y a dix jours
Il est utile de remarquer que quand les moments où les aiguilles forment un angle donné se produisent à des intervalles réguliers. Pour le voir, faire pivoter le cadran sous les aiguilles (ou prendre deux horloges convenablement décalées). Il y a 11 tels intervalles dans une période de 12 h (par exemple, pour les aiguilles superposées, ils sont délimités par les instants suivants : 0 h, entre 1 h et 1 h 10, entre 2 h 5 et 2 h 15 et ainsi de suite jusqu'au dernier, entre 10 h 45 et 10 h 55, puis à 12 h).

On divise donc une fois pour toutes 12 h par 11 : soit $\Delta t$ = 1 h 5 min 27 s et 3/11 de seconde qu'on doit pouvoir négliger.

Reste à déterminer le premier instant où le phénomène se produit. Pour les aiguilles superposées, c'est midi ou minuit, trop facile. Si on fixe un angle entre l'aiguille des heures et l'aiguille des secondes, c'est plus pénible. Alors je sors l'artillerie (légère en 2de, plus lourde au collège ou en primaire ?).

On oriente le plan dans le sens des aiguilles d'une montre et on mesure les angles à partir de la position indiquée par le chiffre 12, dans l'unité « tour » ($\newcommand{\tr}{\;\mathrm{tr}}1\tr = 2\pi\;\mathrm{rad}$). À l'instant $t=0$, les deux aiguilles sont en position $0$. L'aiguille des heures (resp. des minutes) avance à la vitesse de $\frac{1}{12}\tr/\mathrm{h}$ (resp. $1\tr/\mathrm{h}$). À l'instant $t$, l'aiguille des heures (resp. des minutes) forme un angle $\alpha=t/12$ (resp. $\beta=t$) avec la position initiale.

Si on fixe un un angle orienté $\delta$ (par exemple $\delta=0$), on cherche les instants où $\beta-\alpha=\delta\pmod{1}$. Cela arrive aux instants $t$ pour lesquels il existe $k$ entier tels que $\frac{11}{12}t=\delta+k$. Pour $\delta=0$, par exemple, cela arrive aux multiples de $12/11$ d'heure, comme noté plus haut.

Si on cherche les positions où les aiguilles sont à angle droit (un quart de tour), cela arrive pour $\delta=1/4$ ou $\delta=-1/4$ ; on doit résoudre $\beta-\alpha=\pm\delta\pmod{1}$ ; il revient au même de résoudre $\beta-\alpha=\delta\pmod{\frac12}$, ce qui donne les instants $t=\frac{12}{11}\times\frac14+\frac{6}{11}k$ où $k$ décrit $\Z$. La première occurrence du jour ($k=0$) arrive à $\Delta t/4$, qui vaut (15 min) + (1 min + 15 s) + (6 s + 3/4 s) + (3/44 s), soit juste avant 0 h 16 min 22 s. Puis cela se reproduit toutes les 32 min 43 s et quelques fractions de secondes. Modulo les erreurs de calcul...
Re: Problèmes d'horloge
il y a dix jours
Pour les problèmes d'angles entre les aiguilles, une représentation graphique facilite beaucoup les choses.

Je me souviens que les collégiens aimaient bien cet exemple, mais mes souvenirs ont 30 ans.


Re: Problèmes d'horloge
il y a dix jours
Jolie représentation en effet.
Re: Problèmes d'horloge
il y a dix jours
Je ne l'ai pas inventé, mais elle permet de résoudre aisément tous les problèmes du genre « angles entre les aiguilles ».
Il suffit de décaler la droite des heures, éventuellement en la dédoublant.
D'un point de vue pédagogique cela conduit à déterminer des équations de droite et à résoudre des systèmes de deux équations à deux inconnues.

Et, pour autant que je m'en souvienne, c'est assez motivant pour des élèves de quatrième.
Mais c'était au mauvais vieux temps.
Re: Problèmes d'horloge
il y a huit jours
avatar
Bonjour,
Horloge + miroir fournissent conjointement ds thèmes de petits problèmes sympa.
Voici par exemple l'exercice tiré par les cheveux qui fut proposé à Mathématiques sans Frontières au siècle dernier. Je précise qu'à l'époque, nous avions des madames dans l'équipe et qu'aucune d'elles n'a relevé le caractère sexiste du thème.

En 2008, le coiffeur avait remplacé son horloge par une montre à affichage digital, c'est plus moderne. La cliente était une personnalité bien en vue cette année-là. Voir Réflec'tif

Le système sexagésimal donne souvent du fil à retordre aux élèves. Vivent les heures décimales, à vos aiguilles citoyens ! Ils ne chercheront plus midi à 14 heures.

Souvenirs. jacquot
Re: Problèmes d'horloge
il y a huit jours
Si aucune femme présente dans l'équipe n'a relevé le dit « caractère sexiste du thème », c'est peut-être parce que celui-ci n'existe pas.
.
df
Re: Problèmes d'horloge
il y a sept jours
Bonsoir,

J'avais dans l'idée depuis un moment de proposer l'histoire d'une montre et d'une pendule.
Sur le forum d'un journal, un fil de discussion avait été ouvert pour le décès de Benoit Mandelbrodt et de fil en aiguille chacun y allait de son petit casse-tête mathématique.
Pensant les impressionner, j'ai proposé celui-là trouvé dans un vieux livre d'arithmétique. Il a été résolu assez rapidement.
En tout cas moi je ne l'ai pas trouvé facile: même avec le corrigé sous les yeux !
...


Re: Problèmes d'horloge
il y a sept jours
Moi non plus je ne le trouve pas facile. Quelle est la référence de ce livre ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.
df
Re: Problèmes d'horloge
il y a sept jours
Je crois que c'est "récréations mathématiques" aux éditions Jacques Gabay... Mais je ne me rappelle plus de l'auteur.
...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept jours et a été effectuée par df.
Re: Problèmes d'horloge
il y a sept jours
C'est Rouse Ball, grand récréationniste.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Rouse Ball 0.pdf (250.1 KB)
ouvrir | télécharger - Rouse Ball 1.pdf (377.8 KB)
Re: Problèmes d'horloge
il y a six jours
avatar
L'aiguille des heures, celle des minutes et celle des secondes de cette montre
ont un axe de rotation commun, mais le cadran est uni, sans chiffres ni autres
marques.
Cependant la plupart du temps on peut quand-même déterminer l'heure indiquée.
Par exemple, si les trois aiguilles sont confondues, il ne peut être que midi ou minuit.
A quelles heures la montre donne-t-elle une indication ambiguë ?
Re: Problèmes d'horloge
il y a cinq jours
avatar
Bonjour,
@ soland: Je confirme pour les superpositions des aiguilles des heures et des minutes:
on en a onze dans l'intervalle $[0;12[$. leurs dates exprimées en heures sont $\{ t_k=k\dfrac {12}{11}\}_{k\in \mathbb N ; k<11}$
L'angle orienté $\alpha_k$ que fait l'aiguille des secondes par rapport à la superposition permet de les distinguer : sa mesure égale $\dfrac{8k\pi}{11}\mod [2\pi]$
ses mesures successives sur l'intervalle $[0;12[$ sont:
$0;\ \frac 4{11} 2\pi;\ \frac 8{11}2\pi;\ \frac 1{11}2\pi;\ \frac 5{11} 2\pi;\ \frac 9{11}2\pi;\ \frac 2{11}2\pi;\ \frac 6{11}2\pi;\ \frac {10}{11}2\pi;\ \frac 3{11}2\pi;$ et $\frac 7{11}2\pi$.

Mais je ne comprends pas ce qui pourrait générer une ambiguïté pour d'autres configurations :
Prenons une date $T$ dans $[0;12[$ pour laquelle l'angle orienté formé par les aiguilles des heures et des minutes soit $\Theta$ et l'angle orienté formé par les aiguilles des minutes et des secondes soit $\theta$
Alors dans l'intervalle $[T;T+12[$ l'angle (heures,minutes) reprendra la valeur $\Theta$ 10 autres fois, aux instants $\{t'_k=T+t_k\}_{0<k<11}$ mais on pourra les distinguer puisque l'angle (minutes, secondes) prendra, lui, 11 valeurs toutes distinctes $\{\theta+\alpha_k\}_{0\leqslant k<11}$

Quelque chose m'a-t-il échappé, ou bien imagines-tu que l'une des aiguilles soit assez rikiki pour que chacune des deux autres puisse la cacher ou quelque chose de ce genre ?

Amicalement. jacquot



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Re: Problèmes d'horloge
il y a cinq jours
Soland est comme le Sphinx, ses propos doivent parfois être médités et interprétés, et ce n'est jamais sans profit. Au fait j'ai rencontré son cousin, avec qui nous avons dit le plus grand bien de lui.
Présentement, je pense qu'il veut dire que chaque configuration angulaire des trois aiguilles est unique et caractérise donc l'heure, même si le cadran est uni, sans chiffres ni autres marques. Par « configuration angulaire » j'entends les angles mutuels des trois aiguilles. Pour deux aiguilles, ce n'est évidemment pas vrai, puisque la grande et la petite aiguille peuvent former le même angle à différentes heures, et c'est d'ailleurs un des « problèmes d'horloge » de déterminer ces heures pur un angle donné. Pour les trois aiguilles, avec la trotteuse, j'ai l'impression que c'est vrai, sans avoir terminé la démonstration.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Re: Problèmes d'horloge
il y a cinq jours
avatar
Sur le papier glacé des revues, les belles montres sont souvent présentées avec un affichage voisin de 10 heures 10 min et 30 secondes.

Mais y a-t-il une heure pour laquelle la table est exacement partagée en trois secteurs de 120 degrés ?
Si non, à quelle heure est-on le plus près de ce partage ?
Re: Problèmes d'horloge
il y a cinq jours
La méthode que j'utilise pour attaquer ces problèmes, c'est orienter le plan dans le sens des aiguilles d'une montre (ben tiens...) et de mesurer les angles, ni en degrés, ni en radians,ni bien sûr en ces stupides grades, mais en tours, détermination dans $[0,1[$.
Je désigne par $h$ l'heure qu'il est : $h \in [0,12[ $ comptée en « heure décimale » pour faire plaisir au sans-culotte Jacquot.
Par exemple $3 h~ 20 mn~ 30 s $ c'est $3,3416666... $ ou mieux $\frac {401}{120}$.
À chaque heure $h$ je considère la mesure de l'angle orienté que fait l'aiguille considérée avec l'axe-origine qui passe par minuit-midi.
Pour la petite aiguille (des heures) c'est $p= \frac {h}{12}$.
Pour la grande aiguille (des minutes) c'est $g=h-\left\lfloor h\right\rfloor $.
Pour la trotteuse (aiguille des secondes) c'est $t=60h-\left\lfloor 60h\right\rfloor $.
Signalez-moi les erreurs éventuelles, et sinon, on doit pouvoir trouver des choses avec ça.
Bonne journée.
Fr. Ch.
07/12/2017
NB. La décimolâtrie de Jacquot va-t-elle jusqu'à préconiser la semaine de dix jours que les bourgeois qui ont dirigé notre révolution avaient instaurée pour mieux exploiter le bon peuple ?
Re: Problèmes d'horloge
il y a cinq jours
Moi je ne suis pas comme Juju amateur de montres hors de prix alors je ne regarde jamais les belles montres sur papier glacé.
Mais pour répondre à l'intéressante question de Jacquot, on peut chercher s'il est possible que les trois angles formés par les trois aiguilles fassent tous $\frac 13$ de tour.
Avec mes notations, ça se traduit par : $g-p=\frac 13 + \alpha $, $\alpha \in \mathbb Z$, $t-g=\frac 13 + \alpha'$, $\alpha' \in \mathbb Z$.
Ce qui s'écrit : $h- \left\lfloor h\right\rfloor - \frac {h}{12}=\frac 13 +\alpha$, $60h- \left\lfloor 60 h\right\rfloor - h+ \left\lfloor h\right\rfloor =\frac 13 + \alpha'$.
D'où : $11 h=12 \beta +4$, $\beta \in \mathbb Z$, $3 \cdot 59 h = 3 \beta' +1$, $\beta' \in \mathbb Z$.
Et enfin : $3 \cdot 59 (12 \beta +4)=11( 3 \beta' +1)$, impossible.
Alors Jacquot demande : « à quelle heure est-on le plus près ? ». Là ça semble plus difficile.
Bonne soirée.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: Problèmes d'horloge
il y a cinq jours
avatar
Merci pour ton intérêt pour cette question, Chaurien.
Telle qu'elle était formulée, on pouvait se douter que l'obtention des trois secteurs de $120 °$ était impossible.
Mon message précédent donne des outils pour aborder la deuxième question.
Les heures et minutes forment exactement $120°$ à $4\ h\ 00$ ou à $8\ h\ 00$ On a donc deux familles de solutions potentielles à étudier les autres dates pour lesquelles l'angle (heures, minutes) fait $\pm 120°$ se déduisent de ces deux-là par ajout de $k\dfrac {12}{11}$ heures. On pourra regarder pour quel ou quels $k$ la trotteuse est la mieux placée, puis ajouter ou retrancher quelques secondes pour ajuster, ce qui ne déplacera pas beaucoup les deux autres aiguilles.

Au préalable, il faudra préciser dans l'énoncé de l'exercice ce que l'on entend par "partage le plus proche possible" de $(120°,120°, 120°)$
Soient $\alpha;\beta$ et $\gamma$ les (mesures principales en degrés des) trois angles non orientés que définissent les trois aiguilles deux à deux.

On pourrait, par exemple demander que $|\alpha-120|+|\beta-120|+|\gamma -120|$ soit minimal. qu'en pensez-vous ?
Amicalement. jacquot
Re: Problèmes d'horloge
il y a cinq jours
Je vois que ma suggestion de mesurer les angles en « tours » ne plaît pas. Généralement, ce sont pourtant les vieux comme moi qui sont rétifs au changement d'habitudes...
Dans le même ordre d'idées que « le plus proche », il y a le problème suivant. Étudier les valeurs possibles des angles aigus susceptibles d’enfermer les trois aiguilles. Y a-t-il un angle minimum non nul, ou bien non ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Re: Problèmes d'horloge
il y a cinq jours
avatar
Par continuité à midi, on doit trouver cet angle nul, non ?
Re: Problèmes d'horloge
il y a cinq jours
En effet, au voisinage de l'heure $0$ (minuit), mettons entre $0~ h$ et $0~ h ~0~ mn~ 15~ s $, la grande aiguille est située dans un angle aigu formé par la petite et la trotteuse, et là l'angle aigu qui enferme les trois est aussi petit qu'on veut. Mais peut-être y a-t-il à un moment un angle aigu minimum entre la grande et la petite aiguille qui enferme la trotteuse ? Il me semble avoir vu cette question posée par Pierre Berloquin, il y a longtemps.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: Problèmes d'horloge
il y a quatre jours
avatar
Pour le critère de proximité, j'hésite entre :
$|\alpha-120|+|\beta-120|+|\gamma -120|$ minimal et
$(\alpha-120)^2+(\beta-120)^2+(\gamma -120)^2$ minimal.

Qu'en pensez-vous ?
Re: Problèmes d'horloge
il y a quatre jours
Moi aussi je me suis posé la question. C'est comme lorsqu'on définit l'écart-type d'une variable aléatoire finie : on aurait pu prendre la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne au lieu de leurs carrés, mais les carrés se prêtent mieux aux calculs. Présentement, ça a l'air difficile dans les deux cas.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: Problèmes d'horloge
il y a quatre jours
avatar
Bonjour,

La première conjonction a lieu à 01:05:27 et 300/11 s, soit 27,27...s
Les aiguilles confondues sont sur la position, en mn et en centièmes de mn, 5,45.... (car 27,27 s après les 5 mn pile)
L'écart entre les aiguilles et la trotteuse est donc de 27,27-5,45 = 21,82 s
Il faut remonter d'un peu plus que les 21,82 s (puisque les autres aiguilles reculent un peu si on remonte le temps) pour superposer la trotteuse à l'une des aiguilles. Laquelle ? Comme l'angle entre elles s'élargit, la première rencontrée, l'aiguille des heures.
L'angle sera à peu près celui d'un tiers de minute (horaire), soit 2 degrés environ.

A l'occurrence suivante, il sera 02:10:54 et 600/11 s, soit 54,54...s
Les aiguilles confondues sont sur la position 10,90909...
L'écart entre les aiguilles et la trotteuse est de 54,54-10,91, soit 43,63 s.
Cette fois, c'est plus de 30 s, on pourrait être tenté de regarder la situation exactement une minute plus tôt, la trotteuse étant plus proche des deux aiguilles, puis de la voir s'approcher, atteindre la grande aiguille (nous ne sommes pas encore à la conjonction, la grande aiguille est donc encore en arrière de la petite). Est-ce le bon moment ? Non, car le temps que la trotteuse rejoigne la petite aiguille, la grande se rapproche un peu de celle-ci, réduisant l'angle. Comme dans la situation précédente le moment opportun est celui où la trotteuse se confond avec la petite aiguille.

Sur les dix positions de superposition, la trotteuse est la plus proche pour deux d'entre elles :
- 03:16:21,81.., à environ 5,5 s
- et 08:43:38,18..., environ 5,5 s avant la conjonction.

Je n'ai pas fait le calcul précis pour savoir laquelle des deux est la plus favorable.
En outre je n'ai pas calculé précisément l'heure de conjonction trotteuse-aiguille des heures.
L'angle minimum sera pour l'une de ces deux conjonctions, et vaut environ l'angle de 6 s horaires, soit 0,6 degrés.
Re: Problèmes d'horloge
il y a quatre jours
avatar
Bonjour Chaurien,
Avec GeoGebra on peut approcher la solution.
Voici une approximation au dixième de seconde. écart désigne l'écart-type en degrés.


Re: Problèmes d'horloge
il y a quatre jours
avatar
Et au centième:


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