Problèmes d'horloge

Une pendule met 30 s pour sonner les 6 coups de 6h. Combien met-elle pour les 12 coups de midi ?

Il est utile de remarquer que quand les moments où les aiguilles forment un angle donné se produisent à des intervalles réguliers. Pour le voir, faire pivoter le cadran sous les aiguilles (ou prendre deux horloges convenablement décalées). Il y a 11 tels intervalles dans une période de 12 h (par exemple, pour les aiguilles superposées, ils sont délimités par les instants suivants : 0 h, entre 1 h et 1 h 10, entre 2 h 5 et 2 h 15 et ainsi de suite jusqu'au dernier, entre 10 h 45 et 10 h 55, puis à 12 h).

On divise donc une fois pour toutes 12 h par 11 : soit $\Delta t$ = 1 h 5 min 27 s et 3/11 de seconde qu'on doit pouvoir négliger.

Reste à déterminer le premier instant où le phénomène se produit. Pour les aiguilles superposées, c'est midi ou minuit, trop facile. Si on fixe un angle entre l'aiguille des heures et l'aiguille des secondes, c'est plus pénible. Alors je sors l'artillerie (légère en 2de, plus lourde au collège ou en primaire ?).

On oriente le plan dans le sens des aiguilles d'une montre et on mesure les angles à partir de la position indiquée par le chiffre 12, dans l'unité « tour » ($\newcommand{\tr}{\;\mathrm{tr}}1\tr = 2\pi\;\mathrm{rad}$). À l'instant $t=0$, les deux aiguilles sont en position $0$. L'aiguille des heures (resp. des minutes) avance à la vitesse de $\frac{1}{12}\tr/\mathrm{h}$ (resp. $1\tr/\mathrm{h}$). À l'instant $t$, l'aiguille des heures (resp. des minutes) forme un angle $\alpha=t/12$ (resp. $\beta=t$) avec la position initiale.

Si on fixe un un angle orienté $\delta$ (par exemple $\delta=0$), on cherche les instants où $\beta-\alpha=\delta\pmod{1}$. Cela arrive aux instants $t$ pour lesquels il existe $k$ entier tels que $\frac{11}{12}t=\delta+k$. Pour $\delta=0$, par exemple, cela arrive aux multiples de $12/11$ d'heure, comme noté plus haut.

Si on cherche les positions où les aiguilles sont à angle droit (un quart de tour), cela arrive pour $\delta=1/4$ ou $\delta=-1/4$ ; on doit résoudre $\beta-\alpha=\pm\delta\pmod{1}$ ; il revient au même de résoudre $\beta-\alpha=\delta\pmod{\frac12}$, ce qui donne les instants $t=\frac{12}{11}\times\frac14+\frac{6}{11}k$ où $k$ décrit $\Z$. La première occurrence du jour ($k=0$) arrive à $\Delta t/4$, qui vaut (15 min) + (1 min + 15 s) + (6 s + 3/4 s) + (3/44 s), soit juste avant 0 h 16 min 22 s. Puis cela se reproduit toutes les 32 min 43 s et quelques fractions de secondes. Modulo les erreurs de calcul...

Jolie représentation en effet.

Bonjour,
Horloge + miroir fournissent conjointement ds thèmes de petits problèmes sympa.
Voici par exemple l'exercice tiré par les cheveux qui fut proposé à Mathématiques sans Frontières au siècle dernier. Je précise qu'à l'époque, nous avions des madames dans l'équipe et qu'aucune d'elles n'a relevé le caractère sexiste du thème.

En 2008, le coiffeur avait remplacé son horloge par une montre à affichage digital, c'est plus moderne. La cliente était une personnalité bien en vue cette année-là. Voir Réflec'tif

Le système sexagésimal donne souvent du fil à retordre aux élèves. Vivent les heures décimales, à vos aiguilles citoyens ! Ils ne chercheront plus midi à 14 heures.

Souvenirs. jacquot

Bonsoir,

J'avais dans l'idée depuis un moment de proposer l'histoire d'une montre et d'une pendule.
Sur le forum d'un journal, un fil de discussion avait été ouvert pour le décès de Benoit Mandelbrodt et de fil en aiguille chacun y allait de son petit casse-tête mathématique.
Pensant les impressionner, j'ai proposé celui-là trouvé dans un vieux livre d'arithmétique. Il a été résolu assez rapidement.
En tout cas moi je ne l'ai pas trouvé facile: même avec le corrigé sous les yeux !
...

Je crois que c'est "récréations mathématiques" aux éditions Jacques Gabay... Mais je ne me rappelle plus de l'auteur.
...

L'aiguille des heures, celle des minutes et celle des secondes de cette montre
ont un axe de rotation commun, mais le cadran est uni, sans chiffres ni autres
marques.
Cependant la plupart du temps on peut quand-même déterminer l'heure indiquée.
Par exemple, si les trois aiguilles sont confondues, il ne peut être que midi ou minuit.
A quelles heures la montre donne-t-elle une indication ambiguë ?

Merci pour ton intérêt pour cette question, Chaurien.
Telle qu'elle était formulée, on pouvait se douter que l'obtention des trois secteurs de $120 °$ était impossible.
Mon message précédent donne des outils pour aborder la deuxième question.
Les heures et minutes forment exactement $120°$ à $4\ h\ 00$ ou à $8\ h\ 00$ On a donc deux familles de solutions potentielles à étudier les autres dates pour lesquelles l'angle (heures, minutes) fait $\pm 120°$ se déduisent de ces deux-là par ajout de $k\dfrac {12}{11}$ heures. On pourra regarder pour quel ou quels $k$ la trotteuse est la mieux placée, puis ajouter ou retrancher quelques secondes pour ajuster, ce qui ne déplacera pas beaucoup les deux autres aiguilles.

Au préalable, il faudra préciser dans l'énoncé de l'exercice ce que l'on entend par "partage le plus proche possible" de $(120°,120°, 120°)$
Soient $\alpha;\beta$ et $\gamma$ les (mesures principales en degrés des) trois angles non orientés que définissent les trois aiguilles deux à deux.

On pourrait, par exemple demander que $|\alpha-120|+|\beta-120|+|\gamma -120|$ soit minimal. qu'en pensez-vous ?
Amicalement. jacquot

Par continuité à midi, on doit trouver cet angle nul, non ?

Pour le critère de proximité, j'hésite entre :
$|\alpha-120|+|\beta-120|+|\gamma -120|$ minimal et
$(\alpha-120)^2+(\beta-120)^2+(\gamma -120)^2$ minimal.

Qu'en pensez-vous ?

Bonjour,

La première conjonction a lieu à 01:05:27 et 300/11 s, soit 27,27...s
Les aiguilles confondues sont sur la position, en mn et en centièmes de mn, 5,45.... (car 27,27 s après les 5 mn pile)
L'écart entre les aiguilles et la trotteuse est donc de 27,27-5,45 = 21,82 s
Il faut remonter d'un peu plus que les 21,82 s (puisque les autres aiguilles reculent un peu si on remonte le temps) pour superposer la trotteuse à l'une des aiguilles. Laquelle ? Comme l'angle entre elles s'élargit, la première rencontrée, l'aiguille des heures.
L'angle sera à peu près celui d'un tiers de minute (horaire), soit 2 degrés environ.

A l'occurrence suivante, il sera 02:10:54 et 600/11 s, soit 54,54...s
Les aiguilles confondues sont sur la position 10,90909...
L'écart entre les aiguilles et la trotteuse est de 54,54-10,91, soit 43,63 s.
Cette fois, c'est plus de 30 s, on pourrait être tenté de regarder la situation exactement une minute plus tôt, la trotteuse étant plus proche des deux aiguilles, puis de la voir s'approcher, atteindre la grande aiguille (nous ne sommes pas encore à la conjonction, la grande aiguille est donc encore en arrière de la petite). Est-ce le bon moment ? Non, car le temps que la trotteuse rejoigne la petite aiguille, la grande se rapproche un peu de celle-ci, réduisant l'angle. Comme dans la situation précédente le moment opportun est celui où la trotteuse se confond avec la petite aiguille.

Sur les dix positions de superposition, la trotteuse est la plus proche pour deux d'entre elles :
- 03:16:21,81.., à environ 5,5 s
- et 08:43:38,18..., environ 5,5 s avant la conjonction.

Je n'ai pas fait le calcul précis pour savoir laquelle des deux est la plus favorable.
En outre je n'ai pas calculé précisément l'heure de conjonction trotteuse-aiguille des heures.
L'angle minimum sera pour l'une de ces deux conjonctions, et vaut environ l'angle de 6 s horaires, soit 0,6 degrés.

Et au centième: