Problèmes d'horloge
Ayant vu passer un fil
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,1327880,1574348#msg-1574348
consacré à des horloges mathématiques, ceci m'a remis en mémoire les petits problèmes qu'on peut poser avec une brave horloge habituelle, ou une montre à l'ancienne, avec des aiguilles.
Si l'on ne considère que la grande et la petite aiguille, on peut demander à quelles heures ces aiguilles sont superposées, à quelles heures elles sont dans le prolongement l'une de l'autre, à quelles heures elles sont perpendiculaires ou forment un angle de 60° ou tout autre angle prescrit, et combien de fois ceci se produit entre midi et minuit.
Ou bien : à quelles heures ces aiguilles sont-elles symétriques par rapport à l'axe vertical qui joint l'heure 12 et l'heure 6 ?
Ou bien : à quelles heures ces aiguilles pourraient-elles être interverties ?
Et ainsi de suite...
Et si l'on ajoute la trotteuse, il y a encore d'autres questions, que vous pourrez poser et résoudre.
On pourrait rassembler dans ce fil toutes ces questions et leurs solutions, et les références aux auteurs qui en ont parlé, chacun à sa manière, Sam Loyd, Berloquin, ou autres.
Ce ne sont que quelques petits problèmes, qu'on pourrait poser en classe pour en égayer l'ordinaire, je ne sais au juste en quelle classe en 2017.
J'ai mis ce message en Algèbre parce qu'il n'y a pas de forum « récréations mathématiques », mais qu'on le déplace si nécessaire.
Bonne journée.
Fr. Ch.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,1327880,1574348#msg-1574348
consacré à des horloges mathématiques, ceci m'a remis en mémoire les petits problèmes qu'on peut poser avec une brave horloge habituelle, ou une montre à l'ancienne, avec des aiguilles.
Si l'on ne considère que la grande et la petite aiguille, on peut demander à quelles heures ces aiguilles sont superposées, à quelles heures elles sont dans le prolongement l'une de l'autre, à quelles heures elles sont perpendiculaires ou forment un angle de 60° ou tout autre angle prescrit, et combien de fois ceci se produit entre midi et minuit.
Ou bien : à quelles heures ces aiguilles sont-elles symétriques par rapport à l'axe vertical qui joint l'heure 12 et l'heure 6 ?
Ou bien : à quelles heures ces aiguilles pourraient-elles être interverties ?
Et ainsi de suite...
Et si l'on ajoute la trotteuse, il y a encore d'autres questions, que vous pourrez poser et résoudre.
On pourrait rassembler dans ce fil toutes ces questions et leurs solutions, et les références aux auteurs qui en ont parlé, chacun à sa manière, Sam Loyd, Berloquin, ou autres.
Ce ne sont que quelques petits problèmes, qu'on pourrait poser en classe pour en égayer l'ordinaire, je ne sais au juste en quelle classe en 2017.
J'ai mis ce message en Algèbre parce qu'il n'y a pas de forum « récréations mathématiques », mais qu'on le déplace si nécessaire.
Bonne journée.
Fr. Ch.
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Réponses
Jamais vu qu'elles n'ont pas la même taille X:-(
Ok je sors.
(nostalgie des pb de piquets et d'intervalles ?)
[correction : 66 s]
On divise donc une fois pour toutes 12 h par 11 : soit $\Delta t$ = 1 h 5 min 27 s et 3/11 de seconde qu'on doit pouvoir négliger.
Reste à déterminer le premier instant où le phénomène se produit. Pour les aiguilles superposées, c'est midi ou minuit, trop facile. Si on fixe un angle entre l'aiguille des heures et l'aiguille des secondes, c'est plus pénible. Alors je sors l'artillerie (légère en 2de, plus lourde au collège ou en primaire ?).
On oriente le plan dans le sens des aiguilles d'une montre et on mesure les angles à partir de la position indiquée par le chiffre 12, dans l'unité « tour » ($\newcommand{\tr}{\;\mathrm{tr}}1\tr = 2\pi\;\mathrm{rad}$). À l'instant $t=0$, les deux aiguilles sont en position $0$. L'aiguille des heures (resp. des minutes) avance à la vitesse de $\frac{1}{12}\tr/\mathrm{h}$ (resp. $1\tr/\mathrm{h}$). À l'instant $t$, l'aiguille des heures (resp. des minutes) forme un angle $\alpha=t/12$ (resp. $\beta=t$) avec la position initiale.
Si on fixe un un angle orienté $\delta$ (par exemple $\delta=0$), on cherche les instants où $\beta-\alpha=\delta\pmod{1}$. Cela arrive aux instants $t$ pour lesquels il existe $k$ entier tels que $\frac{11}{12}t=\delta+k$. Pour $\delta=0$, par exemple, cela arrive aux multiples de $12/11$ d'heure, comme noté plus haut.
Si on cherche les positions où les aiguilles sont à angle droit (un quart de tour), cela arrive pour $\delta=1/4$ ou $\delta=-1/4$ ; on doit résoudre $\beta-\alpha=\pm\delta\pmod{1}$ ; il revient au même de résoudre $\beta-\alpha=\delta\pmod{\frac12}$, ce qui donne les instants $t=\frac{12}{11}\times\frac14+\frac{6}{11}k$ où $k$ décrit $\Z$. La première occurrence du jour ($k=0$) arrive à $\Delta t/4$, qui vaut (15 min) + (1 min + 15 s) + (6 s + 3/4 s) + (3/44 s), soit juste avant 0 h 16 min 22 s. Puis cela se reproduit toutes les 32 min 43 s et quelques fractions de secondes. Modulo les erreurs de calcul...
Je me souviens que les collégiens aimaient bien cet exemple, mais mes souvenirs ont 30 ans.
Il suffit de décaler la droite des heures, éventuellement en la dédoublant.
D'un point de vue pédagogique cela conduit à déterminer des équations de droite et à résoudre des systèmes de deux équations à deux inconnues.
Et, pour autant que je m'en souvienne, c'est assez motivant pour des élèves de quatrième.
Mais c'était au mauvais vieux temps.
Horloge + miroir fournissent conjointement ds thèmes de petits problèmes sympa.
Voici par exemple l'exercice tiré par les cheveux qui fut proposé à Mathématiques sans Frontières au siècle dernier. Je précise qu'à l'époque, nous avions des madames dans l'équipe et qu'aucune d'elles n'a relevé le caractère sexiste du thème.
En 2008, le coiffeur avait remplacé son horloge par une montre à affichage digital, c'est plus moderne. La cliente était une personnalité bien en vue cette année-là. Voir Réflec'tif
Le système sexagésimal donne souvent du fil à retordre aux élèves. Vivent les heures décimales, à vos aiguilles citoyens ! Ils ne chercheront plus midi à 14 heures.
Souvenirs. jacquot
.
J'avais dans l'idée depuis un moment de proposer l'histoire d'une montre et d'une pendule.
Sur le forum d'un journal, un fil de discussion avait été ouvert pour le décès de Benoit Mandelbrodt et de fil en aiguille chacun y allait de son petit casse-tête mathématique.
Pensant les impressionner, j'ai proposé celui-là trouvé dans un vieux livre d'arithmétique. Il a été résolu assez rapidement.
En tout cas moi je ne l'ai pas trouvé facile: même avec le corrigé sous les yeux !
...
Bonne soirée.
Fr. Ch.
...
ont un axe de rotation commun, mais le cadran est uni, sans chiffres ni autres
marques.
Cependant la plupart du temps on peut quand-même déterminer l'heure indiquée.
Par exemple, si les trois aiguilles sont confondues, il ne peut être que midi ou minuit.
A quelles heures la montre donne-t-elle une indication ambiguë ?
@ soland: Je confirme pour les superpositions des aiguilles des heures et des minutes:
on en a onze dans l'intervalle $[0;12[$. leurs dates exprimées en heures sont $\{ t_k=k\dfrac {12}{11}\}_{k\in \mathbb N ; k<11}$
L'angle orienté $\alpha_k$ que fait l'aiguille des secondes par rapport à la superposition permet de les distinguer : sa mesure égale $\dfrac{8k\pi}{11}\mod [2\pi]$
ses mesures successives sur l'intervalle $[0;12[$ sont:
$0;\ \frac 4{11} 2\pi;\ \frac 8{11}2\pi;\ \frac 1{11}2\pi;\ \frac 5{11} 2\pi;\ \frac 9{11}2\pi;\ \frac 2{11}2\pi;\ \frac 6{11}2\pi;\ \frac {10}{11}2\pi;\ \frac 3{11}2\pi;$ et $\frac 7{11}2\pi$.
Mais je ne comprends pas ce qui pourrait générer une ambiguïté pour d'autres configurations :
Prenons une date $T$ dans $[0;12[$ pour laquelle l'angle orienté formé par les aiguilles des heures et des minutes soit $\Theta$ et l'angle orienté formé par les aiguilles des minutes et des secondes soit $\theta$
Alors dans l'intervalle $[T;T+12[$ l'angle (heures,minutes) reprendra la valeur $\Theta$ 10 autres fois, aux instants $\{t'_k=T+t_k\}_{0<k<11}$ mais on pourra les distinguer puisque l'angle (minutes, secondes) prendra, lui, 11 valeurs toutes distinctes $\{\theta+\alpha_k\}_{0\leqslant k<11}$
Quelque chose m'a-t-il échappé, ou bien imagines-tu que l'une des aiguilles soit assez rikiki pour que chacune des deux autres puisse la cacher ou quelque chose de ce genre ?
Amicalement. jacquot
Présentement, je pense qu'il veut dire que chaque configuration angulaire des trois aiguilles est unique et caractérise donc l'heure, même si le cadran est uni, sans chiffres ni autres marques. Par « configuration angulaire » j'entends les angles mutuels des trois aiguilles. Pour deux aiguilles, ce n'est évidemment pas vrai, puisque la grande et la petite aiguille peuvent former le même angle à différentes heures, et c'est d'ailleurs un des « problèmes d'horloge » de déterminer ces heures pour un angle donné. Pour les trois aiguilles, avec la trotteuse, j'ai l'impression que c'est vrai, sans avoir terminé la démonstration.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Mais y a-t-il une heure pour laquelle la table est exacement partagée en trois secteurs de 120 degrés ?
Si non, à quelle heure est-on le plus près de ce partage ?
Je désigne par $h$ l'heure qu'il est : $h \in [0,12[ $ comptée en « heure décimale » pour faire plaisir au sans-culotte Jacquot.
Par exemple $3 h~ 20 mn~ 30 s $ c'est $3,3416666... $ ou mieux $\frac {401}{120}$.
À chaque heure $h$ je considère la mesure de l'angle orienté que fait l'aiguille considérée avec l'axe-origine qui passe par minuit-midi.
Pour la petite aiguille (des heures) c'est $p= \frac {h}{12}$.
Pour la grande aiguille (des minutes) c'est $g=h-\left\lfloor h\right\rfloor $.
Pour la trotteuse (aiguille des secondes) c'est $t=60h-\left\lfloor 60h\right\rfloor $.
Signalez-moi les erreurs éventuelles, et sinon, on doit pouvoir trouver des choses avec ça.
Bonne journée.
Fr. Ch.
07/12/2017
NB. La décimolâtrie de Jacquot va-t-elle jusqu'à préconiser la semaine de dix jours que les bourgeois qui ont dirigé notre révolution avaient instaurée pour mieux exploiter le bon peuple ?
Mais pour répondre à l'intéressante question de Jacquot, on peut chercher s'il est possible que les trois angles formés par les trois aiguilles fassent tous $\frac 13$ de tour.
Avec mes notations, ça se traduit par : $g-p=\frac 13 + \alpha $, $\alpha \in \mathbb Z$, $t-g=\frac 13 + \alpha'$, $\alpha' \in \mathbb Z$.
Ce qui s'écrit : $h- \left\lfloor h\right\rfloor - \frac {h}{12}=\frac 13 +\alpha$, $60h- \left\lfloor 60 h\right\rfloor - h+ \left\lfloor h\right\rfloor =\frac 13 + \alpha'$.
D'où : $11 h=12 \beta +4$, $\beta \in \mathbb Z$, $3 \cdot 59 h = 3 \beta' +1$, $\beta' \in \mathbb Z$.
Et enfin : $3 \cdot 59 (12 \beta +4)=11( 3 \beta' +1)$, impossible.
Alors Jacquot demande : « à quelle heure est-on le plus près ? ». Là ça semble plus difficile.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Telle qu'elle était formulée, on pouvait se douter que l'obtention des trois secteurs de $120 °$ était impossible.
Mon message précédent donne des outils pour aborder la deuxième question.
Les heures et minutes forment exactement $120°$ à $4\ h\ 00$ ou à $8\ h\ 00$ On a donc deux familles de solutions potentielles à étudier les autres dates pour lesquelles l'angle (heures, minutes) fait $\pm 120°$ se déduisent de ces deux-là par ajout de $k\dfrac {12}{11}$ heures. On pourra regarder pour quel ou quels $k$ la trotteuse est la mieux placée, puis ajouter ou retrancher quelques secondes pour ajuster, ce qui ne déplacera pas beaucoup les deux autres aiguilles.
Au préalable, il faudra préciser dans l'énoncé de l'exercice ce que l'on entend par "partage le plus proche possible" de $(120°,120°, 120°)$
Soient $\alpha;\beta$ et $\gamma$ les (mesures principales en degrés des) trois angles non orientés que définissent les trois aiguilles deux à deux.
On pourrait, par exemple demander que $|\alpha-120|+|\beta-120|+|\gamma -120|$ soit minimal. qu'en pensez-vous ?
Amicalement. jacquot
Dans le même ordre d'idées que « le plus proche », il y a le problème suivant. Étudier les valeurs possibles des angles aigus susceptibles d’enfermer les trois aiguilles. Y a-t-il un angle minimum non nul, ou bien non ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.
$|\alpha-120|+|\beta-120|+|\gamma -120|$ minimal et
$(\alpha-120)^2+(\beta-120)^2+(\gamma -120)^2$ minimal.
Qu'en pensez-vous ?
La première conjonction a lieu à 01:05:27 et 300/11 s, soit 27,27...s
Les aiguilles confondues sont sur la position, en mn et en centièmes de mn, 5,45.... (car 27,27 s après les 5 mn pile)
L'écart entre les aiguilles et la trotteuse est donc de 27,27-5,45 = 21,82 s
Il faut remonter d'un peu plus que les 21,82 s (puisque les autres aiguilles reculent un peu si on remonte le temps) pour superposer la trotteuse à l'une des aiguilles. Laquelle ? Comme l'angle entre elles s'élargit, la première rencontrée, l'aiguille des heures.
L'angle sera à peu près celui d'un tiers de minute (horaire), soit 2 degrés environ.
A l'occurrence suivante, il sera 02:10:54 et 600/11 s, soit 54,54...s
Les aiguilles confondues sont sur la position 10,90909...
L'écart entre les aiguilles et la trotteuse est de 54,54-10,91, soit 43,63 s.
Cette fois, c'est plus de 30 s, on pourrait être tenté de regarder la situation exactement une minute plus tôt, la trotteuse étant plus proche des deux aiguilles, puis de la voir s'approcher, atteindre la grande aiguille (nous ne sommes pas encore à la conjonction, la grande aiguille est donc encore en arrière de la petite). Est-ce le bon moment ? Non, car le temps que la trotteuse rejoigne la petite aiguille, la grande se rapproche un peu de celle-ci, réduisant l'angle. Comme dans la situation précédente le moment opportun est celui où la trotteuse se confond avec la petite aiguille.
Sur les dix positions de superposition, la trotteuse est la plus proche pour deux d'entre elles :
- 03:16:21,81.., à environ 5,5 s
- et 08:43:38,18..., environ 5,5 s avant la conjonction.
Je n'ai pas fait le calcul précis pour savoir laquelle des deux est la plus favorable.
En outre je n'ai pas calculé précisément l'heure de conjonction trotteuse-aiguille des heures.
L'angle minimum sera pour l'une de ces deux conjonctions, et vaut environ l'angle de 6 s horaires, soit 0,6 degrés.
Avec GeoGebra on peut approcher la solution.
Voici une approximation au dixième de seconde. écart désigne l'écart-type en degrés.