Bonjour. $u_n = o(v_n)$ veut juste dire que $u_n = v_n \varepsilon_n$ où $(\varepsilon_n)_n$ est une suite convergeant vers $0$. Si tu regardes la définition de $u_n = O(v_n)$ tu devrais voir que ça implique facilement ça !
Pardon Poirot, je ne comprends que deux façons d'introduire un nouvel objet comme la suite $(\varepsilon_n)$ : en choisir une arbitraire ($\forall$) ou affirmer qu'il en existe au moins une ($\exists$). Aussi je préfère expliciter ta phrase « $u_n=\varepsilon_n v_n$ où $(\varepsilon_n)$... », qui contient deux quantificateurs implicites.
Cette phrase signifie : il existe une suite $(\varepsilon_n)$ telle que pour tout $n$, $u_n=\varepsilon_n v_n$ et telle que $\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=0$.
Dans le même style, on peut écrire la définition de $u_n=O(v_n)$ ainsi : il existe une suite $(\varepsilon_n)$ telle que pour tout $n$, $u_n=\varepsilon_n v_n$ et telle que la suite $(\varepsilon_n)$ est bornée (c'est-à-dire : il existe $M$ réel tel que pour tout $n$, $|\varepsilon_n|\le M$).
La question (traduite à nouveau en français) devient donc : étant donnée une suite dont la limite est nulle, peut-on affirmer qu'elle est bornée ?
NB : Si deen trouve ces ratiocinations tellement évidentes, veuillez simplement considérer ce post comme nul et non avenu.
Réponses
Cette phrase signifie : il existe une suite $(\varepsilon_n)$ telle que pour tout $n$, $u_n=\varepsilon_n v_n$ et telle que $\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=0$.
Dans le même style, on peut écrire la définition de $u_n=O(v_n)$ ainsi : il existe une suite $(\varepsilon_n)$ telle que pour tout $n$, $u_n=\varepsilon_n v_n$ et telle que la suite $(\varepsilon_n)$ est bornée (c'est-à-dire : il existe $M$ réel tel que pour tout $n$, $|\varepsilon_n|\le M$).
La question (traduite à nouveau en français) devient donc : étant donnée une suite dont la limite est nulle, peut-on affirmer qu'elle est bornée ?
NB : Si deen trouve ces ratiocinations tellement évidentes, veuillez simplement considérer ce post comme nul et non avenu.